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第 25352 題：有限商群

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0049-25352 · q-20261015-advance-20261114-r02-finite-quotient-group-0002

原題與已知條件

完整有限群、subgroup與全部coset partition及代表元責任。操作=quotient-normal-coset-partition；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5],[1,2,3,4,5,0],[2,3,4,5,0,1],[3,4,5,0,1,2],[4,5,0,1,2,3],[5,0,1,2,3,4]],"identity":0,"subset":[0,2,4]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 完整有限群、subgroup與全部coset partition及代表元責任。操作=quotient-normal-coset-partition；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5],[1,2,3,4,5,0],[2,3,4,5,0,1],[3,4,5,0,1,2],[4,5,0,1,2,3],[5,0,1,2,3,4]],"identity":0,"subset":[0,2,4]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [quotient-normal-coset-partition]

操作後

derived = [[subgroup, normal, cosets, partition_certificate, coset_count, certificate]]

條件：無

本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；LP三種mode雖同為6欄，角色仍由原mode選，不由答案形狀猜。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[[0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 2, 3, 4, 5, 0], [2, 3, 4, 5, 0, 1], [3, 4, 5, 0, 1, 2], [4, 5, 0, 1, 2, 3], [5, 0, 1, 2, 3, 4]], 0]

操作後

derived = [6, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5]], 是]

條件：無

先核整個closed Cayley table與實際identity標籤，不假設0或套舊上限32。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_complete_group_table_actual_identity · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [6, 0]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是]], 216, [0, 5, 4, 3, 2, 1]]

條件：無

每個(x,y)矩陣格核全部z的(xy)z=x(yz)，共n³責任；每個inverse同時左右乘回同一identity。完整查核不靠抽樣。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_ALL_group_associativity_triples_and_two_sided_inverses · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [0, [0, 2, 4]]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 是], [0, 2, 2, 是], [0, 4, 4, 是], [2, 0, 2, 是], [2, 2, 4, 是], [2, 4, 0, 是], [4, 0, 4, 是], [4, 2, 0, 是], [4, 4, 2, 是]], [[0, 0, 是], [2, 4, 是], [4, 2, 是]], 是, [[0, [0, 2, 4]], [1, [0, 2, 4]], [2, [0, 2, 4]], [3, [0, 2, 4]], [4, [0, 2, 4]], [5, [0, 2, 4]]], 是]

條件：無

先含identity、全product與inverse closure成真subgroup；再對所有g核共軛H。positive branches須normal，boundary須真正nonnormal，不混同未成subgroup。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_genuine_subgroup_before_actual_normality · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [[0, 2, 4], [0, 1, 2, 3, 4, 5]]

操作後

derived = [[[0, 2, 4], [1, 3, 5]], [0, 1, 0, 1, 0, 1], 是]

條件：無

每個元素g在gH中；若aH交bH，ah1=bh2給b^-1a∈H，從而兩完整coset相同。列全g後去重且依來源排序，元素是coset SETS，不是最小代表元本身。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_ALL_LEFT_coset_SETS_complete_disjoint_partition · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [0, 0, [0, 2, 4], [0, 2, 4]]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 0], [0, 2, 2, 0], [0, 4, 4, 0], [2, 0, 2, 0], [2, 2, 4, 0], [2, 4, 0, 0], [4, 0, 4, 0], [4, 2, 0, 0], [4, 4, 2, 0]], [0], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [0, 1, [0, 2, 4], [1, 3, 5]]

操作後

derived = [[[0, 1, 1, 1], [0, 3, 3, 1], [0, 5, 5, 1], [2, 1, 3, 1], [2, 3, 5, 1], [2, 5, 1, 1], [4, 1, 5, 1], [4, 3, 1, 1], [4, 5, 3, 1]], [1], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [1, 0, [1, 3, 5], [0, 2, 4]]

操作後

derived = [[[1, 0, 1, 1], [1, 2, 3, 1], [1, 4, 5, 1], [3, 0, 3, 1], [3, 2, 5, 1], [3, 4, 1, 1], [5, 0, 5, 1], [5, 2, 1, 1], [5, 4, 3, 1]], [1], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [1, 1, [1, 3, 5], [1, 3, 5]]

操作後

derived = [[[1, 1, 2, 0], [1, 3, 4, 0], [1, 5, 0, 0], [3, 1, 4, 0], [3, 3, 0, 0], [3, 5, 2, 0], [5, 1, 0, 0], [5, 3, 2, 0], [5, 5, 4, 0]], [0], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [[0, 2, 4], 是, [[0, 2, 4], [1, 3, 5]]]

操作後

derived = [[[0, 1], [1, 0]], 0, [[0, 0], [1, 1]], 是, 否]

條件：無

若a換ah、b換bk，(ah)(bk)=ab(b^-1hb)k∈abH，normality才保代表元替換不變。associativity由G傳下，eH為identity、a^-1H為inverse。固定No只不自動提供commutativity證書，不說具體cyclic quotient非交換，也不引第一同構定理。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_GENERAL_normality_representative_replacement_and_group_laws · 依賴：G001, S009

逐步反向核對

  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([0, 2, 4], 是, [[0, 2, 4], [1, 3, 5]], 是, 2, quotient_elements_are_disjoint_complete_coset_sets_not_representatives)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 5135efffb831079943147805e7c5d2111f603e98e689d4b0efa02450da2b706f
  • candidate record SHA-256: c9971d619dc34738d8d6b44973790921c67e3b2a830d8856bef812113b7d98a0
  • semantic review receipt SHA-256: 6212b8b0b3b273f3a514e26ebd17d7e81219c56a8f47e40047ee2b6bf01d1ba3
  • question-first witness SHA-256: f32a23d5e1b66c7794c60def58741bcdfacff24f3cdfc9bc48109c8f71543cf3
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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