R0049-25376 · q-20261015-advance-20261114-r02-finite-quotient-group-0051
完整有限群、subgroup與全部coset partition及代表元責任。操作=quotient-representative-well-definedness；資料={"group_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"identity":0,"subset":[0,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — 完整有限群、subgroup與全部coset partition及代表元責任。操作=quotient-representative-well-definedness；資料={"group_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"identity":0,"subset":[0,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [quotient-representative-well-definedness]
操作後
derived = [[cosets, representative_rows, well_defined, certificate]]
條件：無
本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；LP三種mode雖同為6欄，角色仍由原mode選，不由答案形狀猜。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
source roles = [[[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]], 0]
操作後
derived = [4, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3]], 是]
條件：無
先核整個closed Cayley table與實際identity標籤，不假設0或套舊上限32。
規則：Quotient_complete_group_table_actual_identity · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [4, 0]
操作後
derived = [[[是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是]], 64, [0, 3, 2, 1]]
條件：無
每個(x,y)矩陣格核全部z的(xy)z=x(yz)，共n³責任；每個inverse同時左右乘回同一identity。完整查核不靠抽樣。
規則：Quotient_ALL_group_associativity_triples_and_two_sided_inverses · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [0, [0, 2]]
操作後
derived = [[[0, 0, 0, 是], [0, 2, 2, 是], [2, 0, 2, 是], [2, 2, 0, 是]], [[0, 0, 是], [2, 2, 是]], 是, [[0, [0, 2]], [1, [0, 2]], [2, [0, 2]], [3, [0, 2]]], 是]
條件：無
先含identity、全product與inverse closure成真subgroup；再對所有g核共軛H。positive branches須normal，boundary須真正nonnormal，不混同未成subgroup。
規則：Quotient_genuine_subgroup_before_actual_normality · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [[0, 2], [0, 1, 2, 3]]
操作後
derived = [[[0, 2], [1, 3]], [0, 1, 0, 1], 是]
條件：無
每個元素g在gH中；若aH交bH，ah1=bh2給b^-1a∈H，從而兩完整coset相同。列全g後去重且依來源排序，元素是coset SETS，不是最小代表元本身。
規則：Quotient_ALL_LEFT_coset_SETS_complete_disjoint_partition · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [0, 0, [0, 2], [0, 2]]
操作後
derived = [[[0, 0, 0, 0], [0, 2, 2, 0], [2, 0, 2, 0], [2, 2, 0, 0]], [0], 是]
條件：無
每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。
規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [0, 1, [0, 2], [1, 3]]
操作後
derived = [[[0, 1, 1, 1], [0, 3, 3, 1], [2, 1, 3, 1], [2, 3, 1, 1]], [1], 是]
條件：無
每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。
規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S006
操作前
source roles = [1, 0, [1, 3], [0, 2]]
操作後
derived = [[[1, 0, 1, 1], [1, 2, 3, 1], [3, 0, 3, 1], [3, 2, 1, 1]], [1], 是]
條件：無
每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。
規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [1, 1, [1, 3], [1, 3]]
操作後
derived = [[[1, 1, 2, 0], [1, 3, 0, 0], [3, 1, 0, 0], [3, 3, 2, 0]], [0], 是]
條件：無
每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。
規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [[0, 2], 是, [[0, 2], [1, 3]]]
操作後
derived = [[[0, 1], [1, 0]], 0, [[0, 0], [1, 1]], 是, 否]
條件：無
若a換ah、b換bk，(ah)(bk)=ab(b^-1hb)k∈abH，normality才保代表元替換不變。associativity由G傳下，eH為identity、a^-1H為inverse。固定No只不自動提供commutativity證書，不說具體cyclic quotient非交換，也不引第一同構定理。
規則：Quotient_GENERAL_normality_representative_replacement_and_group_laws · 依賴：G001, S009
S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([[0, 2], [1, 3]], [[0, 0, [0], 是], [0, 1, [1], 是], [1, 0, [1], 是], [1, 1, [0], 是]], 是, every_representative_pair_lands_in_one_declared_product_coset)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 4ca3448b15ce13832d9f46c0178975f8ec828a30e77d84e0fcc2453ceb796d67candidate record SHA-256: 4d53a074f9af36ddfbfbe50e64f006bf97ec6acbdb515e9d8a9a225e55f54bc7semantic review receipt SHA-256: 6212b8b0b3b273f3a514e26ebd17d7e81219c56a8f47e40047ee2b6bf01d1ba3question-first witness SHA-256: f32a23d5e1b66c7794c60def58741bcdfacff24f3cdfc9bc48109c8f71543cf3Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED