第 25327 題：有限商群

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0049-25327 · q-20261015-advance-20261114-r02-finite-quotient-group-0077

原題與已知條件

完整有限群、subgroup與全部coset partition及代表元責任。操作=quotient-nonnormal-boundary；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,0,5,6,7,4],[2,3,0,1,6,7,4,5],[3,0,1,2,7,4,5,6],[4,7,6,5,0,3,2,1],[5,4,7,6,1,0,3,2],[6,5,4,7,2,1,0,3],[7,6,5,4,3,2,1,0]],"identity":0,"subset":[0,4]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — 完整有限群、subgroup與全部coset partition及代表元責任。操作=quotient-nonnormal-boundary；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,0,5,6,7,4],[2,3,0,1,6,7,4,5],[3,0,1,2,7,4,5,6],[4,7,6,5,0,3,2,1],[5,4,7,6,1,0,3,2],[6,5,4,7,2,1,0,3],[7,6,5,4,3,2,1,0]],"identity":0,"subset":[0,4]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-finite-quotient-group

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [quotient-nonnormal-boundary]

操作後

derived = [[subgroup, normal, cosets, representative_counterexample, well_defined, quotient_group_certificate, boundary]]

條件：無

本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；LP三種mode雖同為6欄，角色仍由原mode選，不由答案形狀猜。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 0, 5, 6, 7, 4], [2, 3, 0, 1, 6, 7, 4, 5], [3, 0, 1, 2, 7, 4, 5, 6], [4, 7, 6, 5, 0, 3, 2, 1], [5, 4, 7, 6, 1, 0, 3, 2], [6, 5, 4, 7, 2, 1, 0, 3], [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]], 0]

操作後

derived = [8, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5], [6, 6, 6, 6], [7, 7, 7, 7]], 是]

條件：無

先核整個closed Cayley table與實際identity標籤，不假設0或套舊上限32。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_complete_group_table_actual_identity · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [8, 0]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是]], 512, [0, 3, 2, 1, 4, 5, 6, 7]]

條件：無

每個(x,y)矩陣格核全部z的(xy)z=x(yz)，共n³責任；每個inverse同時左右乘回同一identity。完整查核不靠抽樣。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_ALL_group_associativity_triples_and_two_sided_inverses · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [0, [0, 4]]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 是], [0, 4, 4, 是], [4, 0, 4, 是], [4, 4, 0, 是]], [[0, 0, 是], [4, 4, 是]], 是, [[0, [0, 4]], [1, [0, 6]], [2, [0, 4]], [3, [0, 6]], [4, [0, 4]], [5, [0, 6]], [6, [0, 4]], [7, [0, 6]]], 否]

條件：無

先含identity、全product與inverse closure成真subgroup；再對所有g核共軛H。positive branches須normal，boundary須真正nonnormal，不混同未成subgroup。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_genuine_subgroup_before_actual_normality · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [[0, 4], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[[0, 4], [1, 5], [2, 6], [3, 7]], [0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3], 是]

條件：無

每個元素g在gH中；若aH交bH，ah1=bh2給b^-1a∈H，從而兩完整coset相同。列全g後去重且依來源排序，元素是coset SETS，不是最小代表元本身。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_ALL_LEFT_coset_SETS_complete_disjoint_partition · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [0, 0, [0, 4], [0, 4]]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 0], [0, 4, 4, 0], [4, 0, 4, 0], [4, 4, 0, 0]], [0], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [0, 1, [0, 4], [1, 5]]

操作後

derived = [[[0, 1, 1, 1], [0, 5, 5, 1], [4, 1, 7, 3], [4, 5, 3, 3]], [1, 3], 否]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [0, 2, [0, 4], [2, 6]]

操作後

derived = [[[0, 2, 2, 2], [0, 6, 6, 2], [4, 2, 6, 2], [4, 6, 2, 2]], [2], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [0, 3, [0, 4], [3, 7]]

操作後

derived = [[[0, 3, 3, 3], [0, 7, 7, 3], [4, 3, 5, 1], [4, 7, 1, 1]], [1, 3], 否]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [1, 0, [1, 5], [0, 4]]

操作後

derived = [[[1, 0, 1, 1], [1, 4, 5, 1], [5, 0, 5, 1], [5, 4, 1, 1]], [1], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [1, 1, [1, 5], [1, 5]]

操作後

derived = [[[1, 1, 2, 2], [1, 5, 6, 2], [5, 1, 4, 0], [5, 5, 0, 0]], [0, 2], 否]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [1, 2, [1, 5], [2, 6]]

操作後

derived = [[[1, 2, 3, 3], [1, 6, 7, 3], [5, 2, 7, 3], [5, 6, 3, 3]], [3], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [1, 3, [1, 5], [3, 7]]

操作後

derived = [[[1, 3, 0, 0], [1, 7, 4, 0], [5, 3, 6, 2], [5, 7, 2, 2]], [0, 2], 否]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [2, 0, [2, 6], [0, 4]]

操作後

derived = [[[2, 0, 2, 2], [2, 4, 6, 2], [6, 0, 6, 2], [6, 4, 2, 2]], [2], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [2, 1, [2, 6], [1, 5]]

操作後

derived = [[[2, 1, 3, 3], [2, 5, 7, 3], [6, 1, 5, 1], [6, 5, 1, 1]], [1, 3], 否]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [2, 2, [2, 6], [2, 6]]

操作後

derived = [[[2, 2, 0, 0], [2, 6, 4, 0], [6, 2, 4, 0], [6, 6, 0, 0]], [0], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [2, 3, [2, 6], [3, 7]]

操作後

derived = [[[2, 3, 1, 1], [2, 7, 5, 1], [6, 3, 7, 3], [6, 7, 3, 3]], [1, 3], 否]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [3, 0, [3, 7], [0, 4]]

操作後

derived = [[[3, 0, 3, 3], [3, 4, 7, 3], [7, 0, 7, 3], [7, 4, 3, 3]], [3], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [3, 1, [3, 7], [1, 5]]

操作後

derived = [[[3, 1, 0, 0], [3, 5, 4, 0], [7, 1, 6, 2], [7, 5, 2, 2]], [0, 2], 否]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

source roles = [3, 2, [3, 7], [2, 6]]

操作後

derived = [[[3, 2, 1, 1], [3, 6, 5, 1], [7, 2, 5, 1], [7, 6, 1, 1]], [1], 是]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [3, 3, [3, 7], [3, 7]]

操作後

derived = [[[3, 3, 2, 2], [3, 7, 6, 2], [7, 3, 4, 0], [7, 7, 0, 0]], [0, 2], 否]

條件：無

每組coset的每對代表元都要落在同一product coset，僅用首代表元造表還不足以證良定；保完整可能index集合。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_EVERY_coset_pair_ALL_representative_products · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [[0, 1, [1, 3], 否], [0, 4], [1, 5]]

操作後

derived = [[0, 1, 0, 1, 1, 4, 1, 3], 否, 否]

條件：無

保來源首bad ordered pair與left,left2,right,right2搜尋次序；同兩個coset換代表元竟得不同product coset，故此乘法不良定。原subgroup／coset partition仍有效，不造假商群表。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_FIRST_bad_pair_exact_source_nested_representative_witness · 依賴：G001, S021

逐步反向核對

S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([0, 4], 否, [[0, 4], [1, 5], [2, 6], [3, 7]], [0, 1, 0, 1, 1, 4, 1, 3], 否, 否, explicit_representative_dependence_blocks_quotient_group_multiplication)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

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original question SHA-256: e59713c32a0fb133389fcec6c5d798cb3cf32d96ee452d53706937e9426b7e48
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semantic review receipt SHA-256: 6212b8b0b3b273f3a514e26ebd17d7e81219c56a8f47e40047ee2b6bf01d1ba3
question-first witness SHA-256: f32a23d5e1b66c7794c60def58741bcdfacff24f3cdfc9bc48109c8f71543cf3
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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