R0049-25245 · q-20261015-advance-20261114-r04-standard-normal-distribution-0045
standard normal的Gaussian density、evenness與declared normalization責任。操作=normaldist-evenness-ratio；資料={"x":[-20,21]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — standard normal的Gaussian density、evenness與declared normalization責任。操作=normaldist-evenness-ratio；資料={"x":[-20,21]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [normaldist-evenness-ratio]
操作後
derived = [[x, negative_x, density_at_x, density_at_negative_x, even, density_ratio, certificate]]
條件：無
本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；LP三種mode雖同為6欄，角色仍由原mode選，不由答案形狀猜。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
Gaussian ORIGINAL x squared := mul(-20/21, -20/21)
操作後
Gaussian ORIGINAL x squared = 400/441
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Gaussian square times exact half := mul(400/441, 1/2)
操作後
Gaussian square times exact half = 200/441
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [-20/21, -200/441]
操作後
derived = [(2*pi)^(-1/2)*exp(-200/441), phi(x)=(2*pi)^(-1/2)*exp(-x^2/2), normalization is a NAMED Gaussian integral premise]
條件：無
精確有理數只算指數−x²/2，exp與常數因子保符號。全Gaussian law與normalization是明示前提，不由一個density值證成。
規則：Gaussian_WHOLE_declared_density_symbolic_value_named_normalization · 依賴：G001, S003
操作前
Gaussian negative x squared := mul(20/21, 20/21)
操作後
Gaussian negative x squared = 400/441
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [-20/21, 20/21, 400/441, 400/441]
操作後
derived = [(2*pi)^(-1/2)*exp(-200/441), (2*pi)^(-1/2)*exp(-200/441), 是, phi(x)/phi(0)=exp(-200/441)]
條件：無
(−x)²=x²給evenness；phi(0)=(2pi)^−1/2>0，才能除並取消常數，留下exp(−x²/2)。這不是CDF或normalization求值。
規則：Gaussian_evenness_and_ratio_cancel_positive_phi0 · 依賴：G001, S005
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gaussian negative x squared，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gaussian square times exact half，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gaussian ORIGINAL x squared，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(-20/21, 20/21, (2*pi)^(-1/2)*exp(-200/441), (2*pi)^(-1/2)*exp(-200/441), 是, phi(x)/phi(0)=exp(-200/441), evenness_follows_from_x_squared)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 8a60796da7a77327990453ba5a7cc57c6b8a96e305d22fcf6e5464aa84045731candidate record SHA-256: 714729fd7254e3a29b7daf8e2ba04fe5ee217cdb6a5e88989d0782e7bfa0e992semantic review receipt SHA-256: 6212b8b0b3b273f3a514e26ebd17d7e81219c56a8f47e40047ee2b6bf01d1ba3question-first witness SHA-256: f32a23d5e1b66c7794c60def58741bcdfacff24f3cdfc9bc48109c8f71543cf3Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED