第 25103 題：估計量均方誤差

原題與已知條件

scalar theta下完整finite sampling law的exact expected squared error。操作=mse-multi-theta-table；資料={"laws":[[-10,[-13,-10,-7],[[1,4],[1,2],[1,4]]],[-9,[-10,-9,-8],[[1,4],[1,2],[1,4]]]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — scalar theta下完整finite sampling law的exact expected squared error。操作=mse-multi-theta-table；資料={"laws":[[-10,[-13,-10,-7],[[1,4],[1,2],[1,4]]],[-9,[-10,-9,-8],[[1,4],[1,2],[1,4]]]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-estimator-mean-squared-error

逐步推導

source roles = [mse-multi-theta-table]

derived = [[law_risk_rows, certificate]]

MSE ORIGINAL law index0 ORIGINAL probability cumulative0 := sum(0, 1/4)

MSE ORIGINAL law index0 ORIGINAL probability cumulative0 = 1/4

MSE ORIGINAL law index0 ORIGINAL probability cumulative1 := sum(1/4, 1/2)

MSE ORIGINAL law index0 ORIGINAL probability cumulative1 = 3/4

MSE ORIGINAL law index0 ORIGINAL probability cumulative2 := sum(3/4, 1/4)

MSE ORIGINAL law index0 ORIGINAL probability cumulative2 = 1

source roles = [MSE ORIGINAL law index0, -10, [-13, -10, -7], [[1, 4], [1, 2], [1, 4]]]

derived = [[[-13, 1/4], [-10, 1/2], [-7, 1/4]], 1]

MSE ORIGINAL law index0 exact mean product0 := mul(-13, 1/4)

MSE ORIGINAL law index0 exact mean product0 = -13/4

MSE ORIGINAL law index0 exact mean cumulative0 := sum(0, -13/4)

MSE ORIGINAL law index0 exact mean cumulative0 = -13/4

MSE ORIGINAL law index0 exact mean product1 := mul(-10, 1/2)

MSE ORIGINAL law index0 exact mean product1 = -5

MSE ORIGINAL law index0 exact mean cumulative1 := sum(-13/4, -5)

MSE ORIGINAL law index0 exact mean cumulative1 = -33/4

MSE ORIGINAL law index0 exact mean product2 := mul(-7, 1/4)

MSE ORIGINAL law index0 exact mean product2 = -7/4

MSE ORIGINAL law index0 exact mean cumulative2 := sum(-33/4, -7/4)

MSE ORIGINAL law index0 exact mean cumulative2 = -10

MSE ORIGINAL law index0 error row0 := sub(-13, -10)

MSE ORIGINAL law index0 error row0 = -3

MSE ORIGINAL law index0 squared error row0 := mul(-3, -3)

MSE ORIGINAL law index0 squared error row0 = 9

MSE ORIGINAL law index0 weighted error row0 := mul(1/4, 9)

MSE ORIGINAL law index0 weighted error row0 = 9/4

MSE ORIGINAL law index0 MSE cumulative0 := sum(0, 9/4)

MSE ORIGINAL law index0 MSE cumulative0 = 9/4

MSE ORIGINAL law index0 error row1 := sub(-10, -10)

MSE ORIGINAL law index0 error row1 = 0

MSE ORIGINAL law index0 squared error row1 := mul(0, 0)

MSE ORIGINAL law index0 squared error row1 = 0

MSE ORIGINAL law index0 weighted error row1 := mul(1/2, 0)

MSE ORIGINAL law index0 weighted error row1 = 0

MSE ORIGINAL law index0 MSE cumulative1 := sum(9/4, 0)

MSE ORIGINAL law index0 MSE cumulative1 = 9/4

MSE ORIGINAL law index0 error row2 := sub(-7, -10)

MSE ORIGINAL law index0 error row2 = 3

MSE ORIGINAL law index0 squared error row2 := mul(3, 3)

MSE ORIGINAL law index0 squared error row2 = 9

MSE ORIGINAL law index0 weighted error row2 := mul(1/4, 9)

MSE ORIGINAL law index0 weighted error row2 = 9/4

MSE ORIGINAL law index0 MSE cumulative2 := sum(9/4, 9/4)

MSE ORIGINAL law index0 MSE cumulative2 = 9/2

source roles = [MSE ORIGINAL law index0, -10, [[-13, 1/4, 9, 9/4], [-10, 1/2, 0, 0], [-7, 1/4, 9, 9/4]]]

derived = [-10, 9/2, 否, 否, 是]

MSE ORIGINAL law index1 ORIGINAL probability cumulative0 := sum(0, 1/4)

MSE ORIGINAL law index1 ORIGINAL probability cumulative0 = 1/4

MSE ORIGINAL law index1 ORIGINAL probability cumulative1 := sum(1/4, 1/2)

MSE ORIGINAL law index1 ORIGINAL probability cumulative1 = 3/4

MSE ORIGINAL law index1 ORIGINAL probability cumulative2 := sum(3/4, 1/4)

MSE ORIGINAL law index1 ORIGINAL probability cumulative2 = 1

source roles = [MSE ORIGINAL law index1, -9, [-10, -9, -8], [[1, 4], [1, 2], [1, 4]]]

derived = [[[-10, 1/4], [-9, 1/2], [-8, 1/4]], 1]

MSE ORIGINAL law index1 exact mean product0 := mul(-10, 1/4)

MSE ORIGINAL law index1 exact mean product0 = -5/2

MSE ORIGINAL law index1 exact mean cumulative0 := sum(0, -5/2)

MSE ORIGINAL law index1 exact mean cumulative0 = -5/2

MSE ORIGINAL law index1 exact mean product1 := mul(-9, 1/2)

MSE ORIGINAL law index1 exact mean product1 = -9/2

MSE ORIGINAL law index1 exact mean cumulative1 := sum(-5/2, -9/2)

MSE ORIGINAL law index1 exact mean cumulative1 = -7

MSE ORIGINAL law index1 exact mean product2 := mul(-8, 1/4)

MSE ORIGINAL law index1 exact mean product2 = -2

MSE ORIGINAL law index1 exact mean cumulative2 := sum(-7, -2)

MSE ORIGINAL law index1 exact mean cumulative2 = -9

MSE ORIGINAL law index1 error row0 := sub(-10, -9)

MSE ORIGINAL law index1 error row0 = -1

MSE ORIGINAL law index1 squared error row0 := mul(-1, -1)

MSE ORIGINAL law index1 squared error row0 = 1

MSE ORIGINAL law index1 weighted error row0 := mul(1/4, 1)

MSE ORIGINAL law index1 weighted error row0 = 1/4

MSE ORIGINAL law index1 MSE cumulative0 := sum(0, 1/4)

MSE ORIGINAL law index1 MSE cumulative0 = 1/4

MSE ORIGINAL law index1 error row1 := sub(-9, -9)

MSE ORIGINAL law index1 error row1 = 0

MSE ORIGINAL law index1 squared error row1 := mul(0, 0)

MSE ORIGINAL law index1 squared error row1 = 0

MSE ORIGINAL law index1 weighted error row1 := mul(1/2, 0)

MSE ORIGINAL law index1 weighted error row1 = 0

MSE ORIGINAL law index1 MSE cumulative1 := sum(1/4, 0)

MSE ORIGINAL law index1 MSE cumulative1 = 1/4

MSE ORIGINAL law index1 error row2 := sub(-8, -9)

MSE ORIGINAL law index1 error row2 = 1

MSE ORIGINAL law index1 squared error row2 := mul(1, 1)

MSE ORIGINAL law index1 squared error row2 = 1

MSE ORIGINAL law index1 weighted error row2 := mul(1/4, 1)

MSE ORIGINAL law index1 weighted error row2 = 1/4

MSE ORIGINAL law index1 MSE cumulative2 := sum(1/4, 1/4)

MSE ORIGINAL law index1 MSE cumulative2 = 1/2

source roles = [MSE ORIGINAL law index1, -9, [[-10, 1/4, 1, 1/4], [-9, 1/2, 0, 0], [-8, 1/4, 1, 1/4]]]

derived = [-9, 1/2, 否, 否, 是]

source roles = [[[[-10, 1], [[[-13, 1], [1, 4]], [[-10, 1], [1, 2]], [[-7, 1], [1, 4]]]], [[-9, 1], [[[-10, 1], [1, 4]], [[-9, 1], [1, 2]], [[-8, 1], [1, 4]]]]]]

derived = [[0, 1], [[-10, [[-13, 1/4], [-10, 1/2], [-7, 1/4]], 9/2], [-9, [[-10, 1/4], [-9, 1/2], [-8, 1/4]], 1/2]]]

逐步反向核對

• S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 MSE cumulative2，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 weighted error row2，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 squared error row2，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 error row2，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 MSE cumulative1，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 weighted error row1，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 squared error row1，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 error row1，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 MSE cumulative0，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 weighted error row0，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 squared error row0，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 error row0，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 exact mean cumulative2，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 exact mean product2，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 exact mean cumulative1，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 exact mean product1，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 exact mean cumulative0，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 exact mean product0，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 ORIGINAL probability cumulative2，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 ORIGINAL probability cumulative1，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index1 ORIGINAL probability cumulative0，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 MSE cumulative2，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 weighted error row2，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 squared error row2，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 error row2，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 MSE cumulative1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 weighted error row1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 squared error row1，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 error row1，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 MSE cumulative0，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 weighted error row0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 squared error row0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 error row0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 exact mean cumulative2，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 exact mean product2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 exact mean cumulative1，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 exact mean product1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 exact mean cumulative0，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 exact mean product0，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 ORIGINAL probability cumulative2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 ORIGINAL probability cumulative1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL law index0 ORIGINAL probability cumulative0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[-10, [[-13, 1/4], [-10, 1/2], [-7, 1/4]], 9/2], [-9, [[-10, 1/4], [-9, 1/2], [-8, 1/4]], 1/2]], MSE_is_computed_separately_under_each_complete_P_theta_law)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。