第 25069 題：線性規劃標準形

原題與已知條件

固定maximize cTx、Ax≤b、x≥0的唯一standard-form convention。操作=lp-standard-slack-conversion；資料={"A":[[19,1],[1,19]],"b":[22,22],"c":[20,1],"x":[1,1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — 固定maximize cTx、Ax≤b、x≥0的唯一standard-form convention。操作=lp-standard-slack-conversion；資料={"A":[[19,1],[1,19]],"b":[22,22],"c":[20,1],"x":[1,1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-program-standard-form

逐步推導

source roles = [lp-standard-slack-conversion]

derived = [[x, Ax, b, slack, x_nonnegative, inequalities_hold, slack_nonnegative, feasible, feasibility_equivalence_holds, objective_value, certificate]]

source roles = [[[19, 1], [1, 19]], [22, 22], [20, 1]]

derived = [2, 2, maximize cTx subject Ax<=b,x>=0, 是]

LP ORIGINAL constraint row0 product0 := mul(19, 1)

LP ORIGINAL constraint row0 product0 = 19

LP ORIGINAL constraint row0 cumulative0 := sum(0, 19)

LP ORIGINAL constraint row0 cumulative0 = 19

LP ORIGINAL constraint row0 product1 := mul(1, 1)

LP ORIGINAL constraint row0 product1 = 1

LP ORIGINAL constraint row0 cumulative1 := sum(19, 1)

LP ORIGINAL constraint row0 cumulative1 = 20

LP ORIGINAL constraint row1 product0 := mul(1, 1)

LP ORIGINAL constraint row1 product0 = 1

LP ORIGINAL constraint row1 cumulative0 := sum(0, 1)

LP ORIGINAL constraint row1 cumulative0 = 1

LP ORIGINAL constraint row1 product1 := mul(19, 1)

LP ORIGINAL constraint row1 product1 = 19

LP ORIGINAL constraint row1 cumulative1 := sum(1, 19)

LP ORIGINAL constraint row1 cumulative1 = 20

LP UNIQUE slack row0 := sub(22, 20)

LP UNIQUE slack row0 = 2

LP UNIQUE slack row1 := sub(22, 20)

LP UNIQUE slack row1 = 2

LP ORIGINAL objective product0 := mul(20, 1)

LP ORIGINAL objective product0 = 20

LP ORIGINAL objective cumulative0 := sum(0, 20)

LP ORIGINAL objective cumulative0 = 20

LP ORIGINAL objective product1 := mul(1, 1)

LP ORIGINAL objective product1 = 1

LP ORIGINAL objective cumulative1 := sum(20, 1)

LP ORIGINAL objective cumulative1 = 21

source roles = [[1, 1], [20, 20], [22, 22], [2, 2], [20, 1]]

derived = [是, 是, 是, 是, 是, 21]

逐步反向核對

• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL objective cumulative1，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL objective product1，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL objective cumulative0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL objective product0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP UNIQUE slack row1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP UNIQUE slack row0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL constraint row1 cumulative1，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL constraint row1 product1，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL constraint row1 cumulative0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL constraint row1 product0，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL constraint row0 cumulative1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL constraint row0 product1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL constraint row0 cumulative0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LP ORIGINAL constraint row0 product0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([1, 1], [20, 20], [22, 22], [2, 2], 是, 是, 是, 是, 是, 21, x_maps_to_(x,b-Ax)_and_every_nonnegative_slack_equality_point_maps_back_bijectively)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。