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第 25480 題：頂點覆蓋

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0049-25480 · q-20261015-advance-20261114-r07-vertex-cover-0030

原題與已知條件

有限simple undirected graph的全部edges與candidate subset完整核對。操作=vcover-uncovered-edge-witness；資料={"vertices":["v0","v1","v2","v3","v4","v5","v6","v7"],"edges":[["v0","v1"],["v1","v2"],["v2","v3"],["v3","v4"],["v4","v5"],["v5","v6"],["v6","v7"]],"candidate":[]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 有限simple undirected graph的全部edges與candidate subset完整核對。操作=vcover-uncovered-edge-witness；資料={"vertices":["v0","v1","v2","v3","v4","v5","v6","v7"],"edges":[["v0","v1"],["v1","v2"],["v2","v3"],["v3","v4"],["v4","v5"],["v5","v6"],["v6","v7"]],"candidate":[]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [vcover-uncovered-edge-witness]

操作後

derived = [[candidate, edge_coverage_rows, uncovered_edge, cover, boundary]]

條件：無

本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；LP三種mode雖同為6欄，角色仍由原mode選，不由答案形狀猜。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[v0, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7], [[v0, v1], [v1, v2], [v2, v3], [v3, v4], [v4, v5], [v5, v6], [v6, v7]], []]

操作後

derived = [[v0, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7], [[v0, v1], [v1, v2], [v2, v3], [v3, v4], [v4, v5], [v5, v6], [v6, v7]], []]

條件：無

carrier非空且至多12，edge端點依JS UTF16<排，再按來源English canonical排序；loop或反向重複edge拒絕，不把圖改成有向或edge cover。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_complete_simple_undirected_graph_UTF16_then_English_order · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [0, [v0, v1], []]

操作後

derived = [[否, 否], 否]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [1, [v1, v2], []]

操作後

derived = [[否, 否], 否]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [2, [v2, v3], []]

操作後

derived = [[否, 否], 否]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [3, [v3, v4], []]

操作後

derived = [[否, 否], 否]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [4, [v4, v5], []]

操作後

derived = [[否, 否], 否]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [5, [v5, v6], []]

操作後

derived = [[否, 否], 否]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [6, [v6, v7], []]

操作後

derived = [[否, 否], 否]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [[[[v0, v1], 否], [[v1, v2], 否], [[v2, v3], 否], [[v3, v4], 否], [[v4, v5], 否], [[v5, v6], 否], [[v6, v7], 否]]]

操作後

derived = [否, [v0, v1], []]

條件：無

全邊合取，首uncovered edge保來源canonical次序；沒有則null，不用False代null。isolated點沒有責任edge，故可選可不選。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_COMPLETE_edge_conjunction_FIRST_uncovered_or_NULL · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [[v0, v1], []]

操作後

derived = [否]

條件：無

首反例edge兩端都不在C，已足夠否定全稱vertex cover；outside carrier或duplicate candidate不是此合法false witness。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_actual_uncovered_edge_refutes_universal · 依賴：G001, S010

逐步反向核對

  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([], [[[v0, v1], 否], [[v1, v2], 否], [[v2, v3], 否], [[v3, v4], 否], [[v4, v5], 否], [[v5, v6], 否], [[v6, v7], 否]], [v0, v1], 否, one_edge_with_both_endpoints_outside_C_refutes_vertex_cover)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 2cb3574bc115f83a969f558c670bc48d0c15cce9bb4b22a4bda45d4e04bdadc4
  • candidate record SHA-256: db98e8c4ac1a22ede247b5f3c0176b56e5042c393f8b7d0c17e8175e4c48d2e8
  • semantic review receipt SHA-256: 6212b8b0b3b273f3a514e26ebd17d7e81219c56a8f47e40047ee2b6bf01d1ba3
  • question-first witness SHA-256: f32a23d5e1b66c7794c60def58741bcdfacff24f3cdfc9bc48109c8f71543cf3
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
同源完整 JSON