第 25475 題：頂點覆蓋

本頁導覽

原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0049-25475 · q-20261015-advance-20261114-r07-vertex-cover-0100

原題與已知條件

有限simple undirected graph的全部edges與candidate subset完整核對。操作=vcover-minimal-vs-minimum-boundary；資料={"vertices":["c0","l0_0","l0_1","l0_2","l0_3","c1","l1_0","l1_1","l1_2"],"edges":[["c0","l0_0"],["c0","l0_1"],["c0","l0_2"],["c0","l0_3"],["c1","l1_0"],["c1","l1_1"],["c1","l1_2"]],"candidate":["l0_0","l0_1","l0_2","l0_3","l1_0","l1_1","l1_2"]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — 有限simple undirected graph的全部edges與candidate subset完整核對。操作=vcover-minimal-vs-minimum-boundary；資料={"vertices":["c0","l0_0","l0_1","l0_2","l0_3","c1","l1_0","l1_1","l1_2"],"edges":[["c0","l0_0"],["c0","l0_1"],["c0","l0_2"],["c0","l0_3"],["c1","l1_0"],["c1","l1_1"],["c1","l1_2"]],"candidate":["l0_0","l0_1","l0_2","l0_3","l1_0","l1_1","l1_2"]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-vertex-cover

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [vcover-minimal-vs-minimum-boundary]

操作後

derived = [[candidate, deletion_rows, inclusion_minimal, minimum_size, minimum, minimality_tests_agree, certificate]]

條件：無

本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；LP三種mode雖同為6欄，角色仍由原mode選，不由答案形狀猜。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[c0, l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, c1, l1_0, l1_1, l1_2], [[c0, l0_0], [c0, l0_1], [c0, l0_2], [c0, l0_3], [c1, l1_0], [c1, l1_1], [c1, l1_2]], [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[c0, c1, l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], [[c0, l0_0], [c0, l0_1], [c0, l0_2], [c0, l0_3], [c1, l1_0], [c1, l1_1], [c1, l1_2]], [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

條件：無

carrier非空且至多12，edge端點依JS UTF16<排，再按來源English canonical排序；loop或反向重複edge拒絕，不把圖改成有向或edge cover。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_complete_simple_undirected_graph_UTF16_then_English_order · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [0, [c0, l0_0], [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[否, 是], 是]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [1, [c0, l0_1], [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[否, 是], 是]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [2, [c0, l0_2], [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[否, 是], 是]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [3, [c0, l0_3], [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[否, 是], 是]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [4, [c1, l1_0], [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[否, 是], 是]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [5, [c1, l1_1], [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[否, 是], 是]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [6, [c1, l1_2], [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[否, 是], 是]

條件：無

這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [[[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c0, l0_3], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是]]]

操作後

derived = [是, null, []]

條件：無

全邊合取，首uncovered edge保來源canonical次序；沒有則null，不用False代null。isolated點沒有責任edge，故可選可不選。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_COMPLETE_edge_conjunction_FIRST_uncovered_or_NULL · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [l0_0, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], [[[c0, l0_0], 否], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c0, l0_3], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是]], 否]

條件：無

每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [l0_1, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[l0_0, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 否], [[c0, l0_2], 是], [[c0, l0_3], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是]], 否]

條件：無

每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [l0_2, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[l0_0, l0_1, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 否], [[c0, l0_3], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是]], 否]

條件：無

每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [l0_3, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c0, l0_3], 否], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是]], 否]

條件：無

每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [l1_0, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_1, l1_2], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c0, l0_3], 是], [[c1, l1_0], 否], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是]], 否]

條件：無

每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [l1_1, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_2], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c0, l0_3], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 否], [[c1, l1_2], 是]], 否]

條件：無

每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [l1_2, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2]]

操作後

derived = [[l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c0, l0_3], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 否]], 否]

條件：無

每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [[c0, c1, l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], [[c0, l0_0], [c0, l0_1], [c0, l0_2], [c0, l0_3], [c1, l1_0], [c1, l1_1], [c1, l1_2]], [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], [[l0_0, [l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], 否], [l0_1, [l0_0, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], 否], [l0_2, [l0_0, l0_1, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], 否], [l0_3, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2], 否], [l1_0, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_1, l1_2], 否], [l1_1, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_2], 否], [l1_2, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1], 否]]]

操作後

derived = [512, [0, 0, 1, 7, 22, 40, 44, 29, 9, 1], [3, [c0, c1]], 是, 2, 否, 否]

條件：無

對全部2^n subsets按大小計cover個數；較小size個數全0給下界，實際witness給達到。因cover對superset單調，若任一proper subset是cover，必有一次single deletion仍cover，故逐刪測試恰驗inclusion-minimal；不等於minimum。最後只比較兩旗標，兩者False也可相等。

步驟識別與依賴

規則：Vcover_ALL_subsets_cardinality_counts_minimum_witness_and_GENERAL_minimality · 依賴：G001, S017

逐步反向核對

S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], [[l0_0, [l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], 否], [l0_1, [l0_0, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], 否], [l0_2, [l0_0, l0_1, l0_3, l1_0, l1_1, l1_2], 否], [l0_3, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2], 否], [l1_0, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_1, l1_2], 否], [l1_1, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_2], 否], [l1_2, [l0_0, l0_1, l0_2, l0_3, l1_0, l1_1], 否]], 是, 2, 否, 否, inclusion_minimal_means_no_single_deletion_while_minimum_compares_all_covers)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: e74e40f53d9f973b9b14ab8444eab153d4097f39dd0d9a2852dec8a28c1eeb1d
candidate record SHA-256: dc057917cec614b2dad18085176a00e796b81d29b8b11b9dda2a9d557a3517e9
semantic review receipt SHA-256: 6212b8b0b3b273f3a514e26ebd17d7e81219c56a8f47e40047ee2b6bf01d1ba3
question-first witness SHA-256: f32a23d5e1b66c7794c60def58741bcdfacff24f3cdfc9bc48109c8f71543cf3
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

同源完整 JSON