R0050-25796 · q-20261015-advance-20261115-r01-first-isomorphism-theorem-finite-groups-0046
完整有限群、total homomorphism、kernel、image與quotient cosets的第一同構責任。操作=iso1-induced-well-definedness；資料={"source_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7,0],[2,3,4,5,6,7,0,1],[3,4,5,6,7,0,1,2],[4,5,6,7,0,1,2,3],[5,6,7,0,1,2,3,4],[6,7,0,1,2,3,4,5],[7,0,1,2,3,4,5,6]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"target_identity":0,"mapping":[0,3,2,1,0,3,2,1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — 完整有限群、total homomorphism、kernel、image與quotient cosets的第一同構責任。操作=iso1-induced-well-definedness；資料={"source_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7,0],[2,3,4,5,6,7,0,1],[3,4,5,6,7,0,1,2],[4,5,6,7,0,1,2,3],[5,6,7,0,1,2,3,4],[6,7,0,1,2,3,4,5],[7,0,1,2,3,4,5,6]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"target_identity":0,"mapping":[0,3,2,1,0,3,2,1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [iso1-induced-well-definedness]
操作後
derived = [[kernel, cosets, representative_image_rows, well_defined, certificate]]
條件：無
直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
source roles = [Iso1 ORIGINAL SOURCE, [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0], [2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 1], [3, 4, 5, 6, 7, 0, 1, 2], [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3], [5, 6, 7, 0, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 0, 1, 2, 3, 4, 5], [7, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]], 0]
操作後
derived = [8, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5], [6, 6, 6, 6], [7, 7, 7, 7]], 是]
條件：無
完整closed Cayley table與實際identity先資格核對，群階可到64，不假設identity0。
規則：Group_complete_table_actual_identity_bound64 · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [Iso1 ORIGINAL SOURCE, 8, 0]
操作後
derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是]], 512, [0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]]
條件：無
每pair格逐全部第三元素核結合律，完整n³而非抽樣；inverse同時左右回實際identity。
規則：Group_ALL_triples_compact_pair_matrix_and_ALL_inverses · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [Iso1 ORIGINAL TARGET, [[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]], 0]
操作後
derived = [4, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3]], 是]
條件：無
完整closed Cayley table與實際identity先資格核對，群階可到64，不假設identity0。
規則：Group_complete_table_actual_identity_bound64 · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [Iso1 ORIGINAL TARGET, 4, 0]
操作後
derived = [[[是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是]], 64, [0, 3, 2, 1]]
條件：無
每pair格逐全部第三元素核結合律，完整n³而非抽樣；inverse同時左右回實際identity。
規則：Group_ALL_triples_compact_pair_matrix_and_ALL_inverses · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [Iso1 ACTUAL kernel, [0, 4], 0]
操作後
derived = [是, [[0, 0, 0, 是], [0, 4, 4, 是], [4, 0, 4, 是], [4, 4, 0, 是]], 是, [[0, 0, 是], [4, 4, 是]], 是, 是, [[0, [0, 4], 是], [1, [0, 4], 是], [2, [0, 4], 是], [3, [0, 4], 是], [4, [0, 4], 是], [5, [0, 4], 是], [6, [0, 4], 是], [7, [0, 4], 是]], 是]
條件：無
含identity、全部product與inverse closure各核，三者合取才成subgroup；再逐全部g驗normal。即使某map失敗，這些實際property仍可分別True，不由定理名稱填旗標。
規則：Subgroup_actual_identity_product_inverse_ALL_conjugates · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [Iso1 ACTUAL image, [0, 1, 2, 3], 0]
操作後
derived = [是, [[0, 0, 0, 是], [0, 1, 1, 是], [0, 2, 2, 是], [0, 3, 3, 是], [1, 0, 1, 是], [1, 1, 2, 是], [1, 2, 3, 是], [1, 3, 0, 是], [2, 0, 2, 是], [2, 1, 3, 是], [2, 2, 0, 是], [2, 3, 1, 是], [3, 0, 3, 是], [3, 1, 0, 是], [3, 2, 1, 是], [3, 3, 2, 是]], 是, [[0, 0, 是], [1, 3, 是], [2, 2, 是], [3, 1, 是]], 是, 是, [[0, [0, 1, 2, 3], 是], [1, [0, 1, 2, 3], 是], [2, [0, 1, 2, 3], 是], [3, [0, 1, 2, 3], 是]], 是]
條件：無
含identity、全部product與inverse closure各核，三者合取才成subgroup；再逐全部g驗normal。即使某map失敗，這些實際property仍可分別True，不由定理名稱填旗標。
規則：Subgroup_actual_identity_product_inverse_ALL_conjugates · 依賴：G001, S006
操作前
source roles = [[0, 3, 2, 1, 0, 3, 2, 1], 0, 0]
操作後
derived = [[[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 3, 3, 是], [0, 2, 2, 2, 是], [0, 3, 1, 1, 是], [0, 4, 0, 0, 是], [0, 5, 3, 3, 是], [0, 6, 2, 2, 是], [0, 7, 1, 1, 是], [1, 0, 3, 3, 是], [1, 1, 2, 2, 是], [1, 2, 1, 1, 是], [1, 3, 0, 0, 是], [1, 4, 3, 3, 是], [1, 5, 2, 2, 是], [1, 6, 1, 1, 是], [1, 7, 0, 0, 是], [2, 0, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 1, 是], [2, 2, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 3, 是], [2, 4, 2, 2, 是], [2, 5, 1, 1, 是], [2, 6, 0, 0, 是], [2, 7, 3, 3, 是], [3, 0, 1, 1, 是], [3, 1, 0, 0, 是], [3, 2, 3, 3, 是], [3, 3, 2, 2, 是], [3, 4, 1, 1, 是], [3, 5, 0, 0, 是], [3, 6, 3, 3, 是], [3, 7, 2, 2, 是], [4, 0, 0, 0, 是], [4, 1, 3, 3, 是], [4, 2, 2, 2, 是], [4, 3, 1, 1, 是], [4, 4, 0, 0, 是], [4, 5, 3, 3, 是], [4, 6, 2, 2, 是], [4, 7, 1, 1, 是], [5, 0, 3, 3, 是], [5, 1, 2, 2, 是], [5, 2, 1, 1, 是], [5, 3, 0, 0, 是], [5, 4, 3, 3, 是], [5, 5, 2, 2, 是], [5, 6, 1, 1, 是], [5, 7, 0, 0, 是], [6, 0, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 1, 是], [6, 2, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 3, 是], [6, 4, 2, 2, 是], [6, 5, 1, 1, 是], [6, 6, 0, 0, 是], [6, 7, 3, 3, 是], [7, 0, 1, 1, 是], [7, 1, 0, 0, 是], [7, 2, 3, 3, 是], [7, 3, 2, 2, 是], [7, 4, 1, 1, 是], [7, 5, 0, 0, 是], [7, 6, 3, 3, 是], [7, 7, 2, 2, 是]], 是, null, [0, 4], [0, 1, 2, 3], 是, 是]
條件：無
全pair驗同態，並取完整target identity preimage與image。qualification允許bad map且property按實際核，可能同態False而kernel normal／image subgroup True；空kernel不補identity fallback。
規則：Iso1_ALL_product_laws_ACTUAL_kernel_image_properties_before_theorem · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [[0, 4], 是, [0, 3, 2, 1, 0, 3, 2, 1]]
操作後
derived = [[[0, 4], [1, 5], [2, 6], [3, 7]], [0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3], [[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]], [[0, 0, [0], 是], [0, 1, [1], 是], [0, 2, [2], 是], [0, 3, [3], 是], [1, 0, [1], 是], [1, 1, [2], 是], [1, 2, [3], 是], [1, 3, [0], 是], [2, 0, [2], 是], [2, 1, [3], 是], [2, 2, [0], 是], [2, 3, [1], 是], [3, 0, [3], 是], [3, 1, [0], 是], [3, 2, [1], 是], [3, 3, [2], 是]], [[0, [0, 4], [0], 是], [1, [1, 5], [3], 是], [2, [2, 6], [2], 是], [3, [3, 7], [1], 是]], 是]
條件：無
kernel normal使(ah)(bk)=ab(b^-1hb)k∈abK，逐全部代表元驗product coset相同；同一coset的每個f(g)也須同值才定義bar_f。carrier是coset SETS而非首代表元。
規則：Iso1_full_LEFT_coset_quotient_ALL_products_and_representative_images · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [[[0, 4], [1, 5], [2, 6], [3, 7]], [0, 1, 2, 3], [0, 3, 2, 1]]
操作後
derived = [[[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 3, 3, 是], [0, 2, 2, 2, 是], [0, 3, 1, 1, 是], [1, 0, 3, 3, 是], [1, 1, 2, 2, 是], [1, 2, 1, 1, 是], [1, 3, 0, 0, 是], [2, 0, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 1, 是], [2, 2, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 3, 是], [3, 0, 1, 1, 是], [3, 1, 0, 0, 是], [3, 2, 3, 3, 是], [3, 3, 2, 2, 是]], 是, 是, 是, 是, 是]
條件：無
bar_f保乘法由f(ab)=f(a)f(b)；若f(a)=f(b)，a^-1b∈K故同coset，給injective。任意image值f(g)由gK命中，給onto IMAGE；不由同cardinality代替這些責任，也不自動onto整個target。
規則：Iso1_ALL_induced_product_pairs_injective_and_onto_IMAGE_separate · 依賴：G001, S009
S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([0, 4], [[0, 4], [1, 5], [2, 6], [3, 7]], [[0, [0, 4], [0], 是], [1, [1, 5], [3], 是], [2, [2, 6], [2], 是], [3, [3, 7], [1], 是]], 是, bar_f_of_g_kernel_equals_f_of_g_for_every_representative)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: b8e2788dabf489d5b540cc8988aeb253ad09c17c7c50c7ca326cf37db502cbe2candidate record SHA-256: 2184c48f59b909c934324e70dfac049bd776e09744da00425955dbf89895a60fsemantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82question-first witness SHA-256: 6d56428610f8e86c45fd00a2ad3b27ad9c052956946f0b91d71a68536f79d95fLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED