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第 25728 題：有限群第一同構定理

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 129

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R0050-25728 · q-20261015-advance-20261115-r01-first-isomorphism-theorem-finite-groups-0078

原題與已知條件

完整有限群、total homomorphism、kernel、image與quotient cosets的第一同構責任。操作=iso1-image-codomain-boundary；資料={"source_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7,0],[2,3,4,5,6,7,0,1],[3,4,5,6,7,0,1,2],[4,5,6,7,0,1,2,3],[5,6,7,0,1,2,3,4],[6,7,0,1,2,3,4,5],[7,0,1,2,3,4,5,6]],"target_identity":0,"mapping":[0,2,4,6]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 完整有限群、total homomorphism、kernel、image與quotient cosets的第一同構責任。操作=iso1-image-codomain-boundary；資料={"source_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7,0],[2,3,4,5,6,7,0,1],[3,4,5,6,7,0,1,2],[4,5,6,7,0,1,2,3],[5,6,7,0,1,2,3,4],[6,7,0,1,2,3,4,5],[7,0,1,2,3,4,5,6]],"target_identity":0,"mapping":[0,2,4,6]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [iso1-image-codomain-boundary]

操作後

derived = [[image, codomain_order, image_order, surjective_to_codomain, image_isomorphism_statement, codomain_scope, general_theorem_proof_claim, boundary]]

條件：無

直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [Iso1 ORIGINAL SOURCE, [[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]], 0]

操作後

derived = [4, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3]], 是]

條件：無

完整closed Cayley table與實際identity先資格核對，群階可到64，不假設identity0。

步驟識別與依賴

規則：Group_complete_table_actual_identity_bound64 · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [Iso1 ORIGINAL SOURCE, 4, 0]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是]], 64, [0, 3, 2, 1]]

條件：無

每pair格逐全部第三元素核結合律，完整n³而非抽樣；inverse同時左右回實際identity。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_triples_compact_pair_matrix_and_ALL_inverses · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [Iso1 ORIGINAL TARGET, [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0], [2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 1], [3, 4, 5, 6, 7, 0, 1, 2], [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3], [5, 6, 7, 0, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 0, 1, 2, 3, 4, 5], [7, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]], 0]

操作後

derived = [8, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5], [6, 6, 6, 6], [7, 7, 7, 7]], 是]

條件：無

完整closed Cayley table與實際identity先資格核對，群階可到64，不假設identity0。

步驟識別與依賴

規則：Group_complete_table_actual_identity_bound64 · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [Iso1 ORIGINAL TARGET, 8, 0]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是]], 512, [0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]]

條件：無

每pair格逐全部第三元素核結合律，完整n³而非抽樣；inverse同時左右回實際identity。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_triples_compact_pair_matrix_and_ALL_inverses · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [Iso1 ACTUAL kernel, [0], 0]

操作後

derived = [是, [[0, 0, 0, 是]], 是, [[0, 0, 是]], 是, 是, [[0, [0], 是], [1, [0], 是], [2, [0], 是], [3, [0], 是]], 是]

條件：無

含identity、全部product與inverse closure各核，三者合取才成subgroup；再逐全部g驗normal。即使某map失敗，這些實際property仍可分別True，不由定理名稱填旗標。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_actual_identity_product_inverse_ALL_conjugates · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [Iso1 ACTUAL image, [0, 2, 4, 6], 0]

操作後

derived = [是, [[0, 0, 0, 是], [0, 2, 2, 是], [0, 4, 4, 是], [0, 6, 6, 是], [2, 0, 2, 是], [2, 2, 4, 是], [2, 4, 6, 是], [2, 6, 0, 是], [4, 0, 4, 是], [4, 2, 6, 是], [4, 4, 0, 是], [4, 6, 2, 是], [6, 0, 6, 是], [6, 2, 0, 是], [6, 4, 2, 是], [6, 6, 4, 是]], 是, [[0, 0, 是], [2, 6, 是], [4, 4, 是], [6, 2, 是]], 是, 是, [[0, [0, 2, 4, 6], 是], [1, [0, 2, 4, 6], 是], [2, [0, 2, 4, 6], 是], [3, [0, 2, 4, 6], 是], [4, [0, 2, 4, 6], 是], [5, [0, 2, 4, 6], 是], [6, [0, 2, 4, 6], 是], [7, [0, 2, 4, 6], 是]], 是]

條件：無

含identity、全部product與inverse closure各核，三者合取才成subgroup；再逐全部g驗normal。即使某map失敗，這些實際property仍可分別True，不由定理名稱填旗標。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_actual_identity_product_inverse_ALL_conjugates · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [[0, 2, 4, 6], 0, 0]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 2, 2, 是], [0, 2, 4, 4, 是], [0, 3, 6, 6, 是], [1, 0, 2, 2, 是], [1, 1, 4, 4, 是], [1, 2, 6, 6, 是], [1, 3, 0, 0, 是], [2, 0, 4, 4, 是], [2, 1, 6, 6, 是], [2, 2, 0, 0, 是], [2, 3, 2, 2, 是], [3, 0, 6, 6, 是], [3, 1, 0, 0, 是], [3, 2, 2, 2, 是], [3, 3, 4, 4, 是]], 是, null, [0], [0, 2, 4, 6], 是, 是]

條件：無

全pair驗同態，並取完整target identity preimage與image。qualification允許bad map且property按實際核，可能同態False而kernel normal／image subgroup True；空kernel不補identity fallback。

步驟識別與依賴

規則：Iso1_ALL_product_laws_ACTUAL_kernel_image_properties_before_theorem · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [[0], 是, [0, 2, 4, 6]]

操作後

derived = [[[0], [1], [2], [3]], [0, 1, 2, 3], [[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]], [[0, 0, [0], 是], [0, 1, [1], 是], [0, 2, [2], 是], [0, 3, [3], 是], [1, 0, [1], 是], [1, 1, [2], 是], [1, 2, [3], 是], [1, 3, [0], 是], [2, 0, [2], 是], [2, 1, [3], 是], [2, 2, [0], 是], [2, 3, [1], 是], [3, 0, [3], 是], [3, 1, [0], 是], [3, 2, [1], 是], [3, 3, [2], 是]], [[0, [0], [0], 是], [1, [1], [2], 是], [2, [2], [4], 是], [3, [3], [6], 是]], 是]

條件：無

kernel normal使(ah)(bk)=ab(b^-1hb)k∈abK，逐全部代表元驗product coset相同；同一coset的每個f(g)也須同值才定義bar_f。carrier是coset SETS而非首代表元。

步驟識別與依賴

規則：Iso1_full_LEFT_coset_quotient_ALL_products_and_representative_images · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [[[0], [1], [2], [3]], [0, 2, 4, 6], [0, 2, 4, 6]]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 2, 2, 是], [0, 2, 4, 4, 是], [0, 3, 6, 6, 是], [1, 0, 2, 2, 是], [1, 1, 4, 4, 是], [1, 2, 6, 6, 是], [1, 3, 0, 0, 是], [2, 0, 4, 4, 是], [2, 1, 6, 6, 是], [2, 2, 0, 0, 是], [2, 3, 2, 2, 是], [3, 0, 6, 6, 是], [3, 1, 0, 0, 是], [3, 2, 2, 2, 是], [3, 3, 4, 4, 是]], 是, 是, 是, 是, 否]

條件：無

bar_f保乘法由f(ab)=f(a)f(b)；若f(a)=f(b)，a^-1b∈K故同coset，給injective。任意image值f(g)由gK命中，給onto IMAGE；不由同cardinality代替這些責任，也不自動onto整個target。

步驟識別與依賴

規則：Iso1_ALL_induced_product_pairs_injective_and_onto_IMAGE_separate · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [[0, 2, 4, 6], 8, 4]

操作後

derived = [否, G/kernel_is_isomorphic_to_image, non_surjective_f_does_not_identify_the_quotient_with_the_whole_codomain, 否]

條件：無

只有實際f滿射，image才等同整個codomain。最後No保一般抽象證明／形式化責任，不否定本題完整有限同構證書或教學理由。

步驟識別與依賴

規則：Iso1_image_VS_codomain_scope_and_finite_general_proof_boundary · 依賴：G001, S010

逐步反向核對

  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([0, 2, 4, 6], 8, 4, 否, G/kernel_is_isomorphic_to_image, non_surjective_f_does_not_identify_the_quotient_with_the_whole_codomain, 否, finite_instance_certificate_not_a_general_theorem_proof)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 855a31eeb128e40d01435502ca1a196f8d54f9e9429e113113a08bddfcab7c61
  • candidate record SHA-256: 4e32ac36a849ef8d438456d1a5b5f890a5517172f3f7f624ad3dd8559e7deb1c
  • semantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82
  • question-first witness SHA-256: 6d56428610f8e86c45fd00a2ad3b27ad9c052956946f0b91d71a68536f79d95f
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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