第 25861 題：線性規劃對偶

原題與已知條件

固定max/≤/nonnegative primal與min/≥/nonnegative dual convention。操作=lpdual-weak-duality-chain；資料={"A":[[1,0],[0,1]],"b":[12,13],"c":[3,1],"x":[[12,2],[13,2]],"y":[4,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — 固定max/≤/nonnegative primal與min/≥/nonnegative dual convention。操作=lpdual-weak-duality-chain；資料={"A":[[1,0],[0,1]],"b":[12,13],"c":[3,1],"x":[[12,2],[13,2]],"y":[4,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-program-duality

逐步推導

source roles = [lpdual-weak-duality-chain]

derived = [[x, y, Ax, transpose_A_y, primal_feasible, dual_feasible, primal_objective, middle_value, dual_objective, first_inequality, second_inequality, weak_chain_holds, certificate]]

source roles = [[[1, 0], [0, 1]], [12, 13], [3, 1]]

derived = [2, 2, [[1, 0], [0, 1]], primal:max_cTx_Ax_le_b_x_ge_0, dual:min_bTy_ATy_ge_c_y_ge_0, 是]

LPdual ORIGINAL Ax row0 product0 := mul(1, 6)

LPdual ORIGINAL Ax row0 product0 = 6

LPdual ORIGINAL Ax row0 product1 := mul(0, 13/2)

LPdual ORIGINAL Ax row0 product1 = 0

LPdual ORIGINAL Ax row0 sum := sum(6, 0)

LPdual ORIGINAL Ax row0 sum = 6

LPdual ORIGINAL Ax row1 product0 := mul(0, 6)

LPdual ORIGINAL Ax row1 product0 = 0

LPdual ORIGINAL Ax row1 product1 := mul(1, 13/2)

LPdual ORIGINAL Ax row1 product1 = 13/2

LPdual ORIGINAL Ax row1 sum := sum(0, 13/2)

LPdual ORIGINAL Ax row1 sum = 13/2

LPdual ORIGINAL ATy row0 product0 := mul(1, 4)

LPdual ORIGINAL ATy row0 product0 = 4

LPdual ORIGINAL ATy row0 product1 := mul(0, 2)

LPdual ORIGINAL ATy row0 product1 = 0

LPdual ORIGINAL ATy row0 sum := sum(4, 0)

LPdual ORIGINAL ATy row0 sum = 4

LPdual ORIGINAL ATy row1 product0 := mul(0, 4)

LPdual ORIGINAL ATy row1 product0 = 0

LPdual ORIGINAL ATy row1 product1 := mul(1, 2)

LPdual ORIGINAL ATy row1 product1 = 2

LPdual ORIGINAL ATy row1 sum := sum(0, 2)

LPdual ORIGINAL ATy row1 sum = 2

LPdual ORIGINAL primal objective product0 := mul(3, 6)

LPdual ORIGINAL primal objective product0 = 18

LPdual ORIGINAL primal objective product1 := mul(1, 13/2)

LPdual ORIGINAL primal objective product1 = 13/2

LPdual ORIGINAL primal objective sum := sum(18, 13/2)

LPdual ORIGINAL primal objective sum = 49/2

LPdual ORIGINAL middle yTAx product0 := mul(4, 6)

LPdual ORIGINAL middle yTAx product0 = 24

LPdual ORIGINAL middle yTAx product1 := mul(2, 13/2)

LPdual ORIGINAL middle yTAx product1 = 13

LPdual ORIGINAL middle yTAx sum := sum(24, 13)

LPdual ORIGINAL middle yTAx sum = 37

LPdual ORIGINAL dual objective product0 := mul(12, 4)

LPdual ORIGINAL dual objective product0 = 48

LPdual ORIGINAL dual objective product1 := mul(13, 2)

LPdual ORIGINAL dual objective product1 = 26

LPdual ORIGINAL dual objective sum := sum(48, 26)

LPdual ORIGINAL dual objective sum = 74

source roles = [[6, 13/2], [4, 2], [6, 13/2], [4, 2], [12, 13], [3, 1]]

derived = [是, 是, 49/2, 37, 74, [[0, 0, 4, 1, 6, 24], [0, 1, 4, 0, 13/2, 0], [1, 0, 2, 0, 6, 0], [1, 1, 2, 1, 13/2, 13]], 37, [[0, 6, 1, 6], [1, 13/2, 1, 13/2]], 25/2, [[0, 4, 6, 24], [1, 2, 13/2, 13]], 37, 是, 是, 否]

逐步反向核對

• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL dual objective sum，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL dual objective product1，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL dual objective product0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL middle yTAx sum，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL middle yTAx product1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL middle yTAx product0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL primal objective sum，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL primal objective product1，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL primal objective product0，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row1 sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row1 product1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row1 product0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row0 sum，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row0 product1，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row0 product0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row1 sum，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row1 product1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row1 product0，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row0 sum，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row0 product1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row0 product0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([6, 13/2], [4, 2], [6, 13/2], [4, 2], 是, 是, 49/2, 37, 74, 是, 是, 是, cTx_le_yTAx_le_bTy_for_every_feasible_pair)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。