第 156 題：有限模型最大似然估計量

原題與已知條件

完整finite parametric laws、observed likelihood與全部argmax責任。操作=mle-argmax；資料={"theta_values":["a5","b5"],"observations":["x5","y5"],"probability_rows":[[[3,4],[1,4]],[[1,4],[3,4]]],"observed":"x5"}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — 完整finite parametric laws、observed likelihood與全部argmax責任。操作=mle-argmax；資料={"theta_values":["a5","b5"],"observations":["x5","y5"],"probability_rows":[[[3,4],[1,4]],[[1,4],[3,4]]],"observed":"x5"}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

完整有限參數與觀察集合；固定觀測欄並保留全部 argmax，不加入 prior。

• mko-finite-maximum-likelihood-estimator

逐步推導

Θ=[a5, b5]; Ω=[x5, y5]

observed=x5, column=0

P_a5(Ω) := sum(3/4, 1/4)

P_a5(Ω) = 1

row for a5=[3/4, 1/4]

L(a5;x5)=P_a5(x5)=3/4

P_b5(Ω) := sum(1/4, 3/4)

P_b5(Ω) = 1

row for b5=[1/4, 3/4]

L(b5;x5)=P_b5(x5)=1/4

L(a5;x5)=3/4, maximum=3/4

a5 ∈ argmax: 是

L(b5;x5)=1/4, maximum=3/4

b5 ∈ argmax: 否

argmax=[a5]

unique maximizing parameter: 是

finite normalized laws

MLE is not a posterior or an automatic quality certificate

逐步反向核對

• S009 · premise_and_result_audit — 禁止把 null 觀察誤作不合法的全零機率 law。
• S008 · premise_and_result_audit — 固定 tie-breaker 可產生單一輸出，卻不會把原本多元素的 argmax 改成單元素。
• S007 · premise_and_result_audit — 最大值是一個數，argmax 則是一個參數集合。
• S006 · premise_and_result_audit — 最大值是一個數，argmax 則是一個參數集合。
• S005 · premise_and_result_audit — 這個值仍綁定同一參數與同一觀察。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_b5(Ω)，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 這個值仍綁定同一參數與同一觀察。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_a5(Ω)，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 不要把同一列的其他可能觀察當成另一個參數。

結論

(x5, [[a5, 3/4], [b5, 1/4]], 3/4, [a5], 是, MLE_argmax_need_not_be_unique)

最大 likelihood=3/4；完整 argmax=[a5]。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。