第 610 題：有限模型最大似然估計量

原題與已知條件

完整finite parametric laws、observed likelihood與全部argmax責任。操作=mle-boundary；資料={"mode":"tie","theta_values":["a9","b9"],"observations":["x9","y9"],"probability_rows":[[[1,2],[1,2]],[[1,2],[1,2]]],"observed":"x9","tie_order":["a9","b9"]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — 完整finite parametric laws、observed likelihood與全部argmax責任。操作=mle-boundary；資料={"mode":"tie","theta_values":["a9","b9"],"observations":["x9","y9"],"probability_rows":[[[1,2],[1,2]],[[1,2],[1,2]]],"observed":"x9","tie_order":["a9","b9"]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

並列或全零 likelihood 仍有完整 argmax；結尾否定的是後驗或估計品質宣稱。

• mko-finite-maximum-likelihood-estimator

逐步推導

Θ=[a9, b9]; Ω=[x9, y9]

[[1/2, 1/2], [1/2, 1/2]]

P_a9(Ω) := sum(1/2, 1/2)

P_a9(Ω) = 1

P_b9(Ω) := sum(1/2, 1/2)

P_b9(Ω) = 1

tie priority=[a9, b9]

one fixed ordering, independent of the observed outcome

parameter=a9; observed=x9

L(a9;x9)=1/2

parameter=b9; observed=x9

L(b9;x9)=1/2

[[a9, 1/2], [b9, 1/2]]

maximum=1/2; all argmax=[a9, b9]

argmax(x9)=[a9, b9]; priority=[a9, b9]

estimator(x9)=a9

parameter=a9; observed=y9

L(a9;y9)=1/2

parameter=b9; observed=y9

L(b9;y9)=1/2

[[a9, 1/2], [b9, 1/2]]

maximum=1/2; all argmax=[a9, b9]

argmax(y9)=[a9, b9]; priority=[a9, b9]

estimator(y9)=a9

defined on 2 outcomes

total on all 2 listed outcomes

boundary mode=tie; argmax=[a9, b9]

no automatic posterior, unbiasedness, consistency or asymptotic optimum

逐步反向核對

• S014 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S013 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S012 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S011 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S010 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S009 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S008 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S007 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S006 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S005 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S004 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_b9(Ω)，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_a9(Ω)，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。

結論

(tie, x9, [[a9, 1/2], [b9, 1/2]], 1/2, [a9, b9], [a9, b9], [x9, [a9, b9], a9], 否, MLE_maximizes_likelihood_not_posterior_and_does_not_imply_unbiased_consistent_or_asymptotically_optimal)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。