第 612 題：有限模型最大似然估計量

原題與已知條件

完整finite parametric laws、observed likelihood與全部argmax責任。操作=mle-boundary；資料={"mode":"tie","theta_values":["a11","b11"],"observations":["x11","y11"],"probability_rows":[[[1,2],[1,2]],[[1,2],[1,2]]],"observed":"x11","tie_order":["a11","b11"]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — 完整finite parametric laws、observed likelihood與全部argmax責任。操作=mle-boundary；資料={"mode":"tie","theta_values":["a11","b11"],"observations":["x11","y11"],"probability_rows":[[[1,2],[1,2]],[[1,2],[1,2]]],"observed":"x11","tie_order":["a11","b11"]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

並列或全零 likelihood 仍有完整 argmax；結尾否定的是後驗或估計品質宣稱。

• mko-finite-maximum-likelihood-estimator

逐步推導

Θ=[a11, b11]; Ω=[x11, y11]

[[1/2, 1/2], [1/2, 1/2]]

P_a11(Ω) := sum(1/2, 1/2)

P_a11(Ω) = 1

P_b11(Ω) := sum(1/2, 1/2)

P_b11(Ω) = 1

tie priority=[a11, b11]

one fixed ordering, independent of the observed outcome

parameter=a11; observed=x11

L(a11;x11)=1/2

parameter=b11; observed=x11

L(b11;x11)=1/2

[[a11, 1/2], [b11, 1/2]]

maximum=1/2; all argmax=[a11, b11]

argmax(x11)=[a11, b11]; priority=[a11, b11]

estimator(x11)=a11

parameter=a11; observed=y11

L(a11;y11)=1/2

parameter=b11; observed=y11

L(b11;y11)=1/2

[[a11, 1/2], [b11, 1/2]]

maximum=1/2; all argmax=[a11, b11]

argmax(y11)=[a11, b11]; priority=[a11, b11]

estimator(y11)=a11

defined on 2 outcomes

total on all 2 listed outcomes

boundary mode=tie; argmax=[a11, b11]

no automatic posterior, unbiasedness, consistency or asymptotic optimum

逐步反向核對

• S014 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S013 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S012 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S011 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S010 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S009 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S008 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S007 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S006 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S005 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S004 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_b11(Ω)，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_a11(Ω)，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 保留全部參數與樣本標籤；null、空表、零分布及並列最優集合不能混同。

結論

(tie, x11, [[a11, 1/2], [b11, 1/2]], 1/2, [a11, b11], [a11, b11], [x11, [a11, b11], a11], 否, MLE_maximizes_likelihood_not_posterior_and_does_not_imply_unbiased_consistent_or_asymptotically_optimal)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。