第 26744 題：有限乘積拓撲

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0052-26744 · q-20261015-advance-20261117-r04-finite-product-topology-0044

原題與已知條件

完整finite factor topologies、Cartesian carrier與rectangle-union生成責任。操作=product-projection-continuity；資料={"x_points":[0,1,2,3],"x_topology":[[],[0,1,2,3],[0,1,2],[1]],"y_points":[100,101],"y_topology":[[],[100,101]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — 完整finite factor topologies、Cartesian carrier與rectangle-union生成責任。操作=product-projection-continuity；資料={"x_points":[0,1,2,3],"x_topology":[[],[0,1,2,3],[0,1,2],[1]],"y_points":[100,101],"y_topology":[[],[100,101]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-finite-product-topology

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [product-projection-continuity]

操作後

derived = [[first_preimage_audit, second_preimage_audit, first_continuous, second_continuous, valid, certificate]]

條件：無

直接列出此操作及mode的完整來源欄序，不需JavaScript；布林、字串與null角色保持區別，不補欄或以答案形狀猜介面。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [product ORIGINAL X, [0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2], [1]], 否]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2], [1]], [[0, 0, 0, 0, 是, 是], [0, 1, 15, 0, 是, 是], [0, 2, 7, 0, 是, 是], [0, 3, 2, 0, 是, 是], [1, 0, 15, 0, 是, 是], [1, 1, 15, 15, 是, 是], [1, 2, 15, 7, 是, 是], [1, 3, 15, 2, 是, 是], [2, 0, 7, 0, 是, 是], [2, 1, 15, 7, 是, 是], [2, 2, 7, 7, 是, 是], [2, 3, 7, 2, 是, 是], [3, 0, 2, 0, 是, 是], [3, 1, 15, 2, 是, 是], [3, 2, 7, 2, 是, 是], [3, 3, 2, 2, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴

規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [product ORIGINAL Y, [100, 101], [[], [100, 101]], 否]

操作後

derived = [[100, 101], [[], [100, 101]], [[0, 0, 0, 0, 是, 是], [0, 1, 3, 0, 是, 是], [1, 0, 3, 0, 是, 是], [1, 1, 3, 3, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴

規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [[0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2], [1]], [100, 101], [[], [100, 101]]]

操作後

derived = [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []]]

條件：無

列全部typed ordered pairs及全部U×V基底矩形，重複空矩形合併；rectangle界限是來源計算profile，不是一般定理限制。

步驟識別與依賴

規則：Product_typed_cartesian_carrier_AND_ALL_basic_rectangles · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [0, [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[]]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴

規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [1, [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], []]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴

規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [2, [[1, 100], [1, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], []]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴

規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [3, [], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴

規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [product GENERATED all-union topology, [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []], 是]

操作後

derived = [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []], [[0, 0, 255, 255, 是, 是], [0, 1, 255, 63, 是, 是], [0, 2, 255, 12, 是, 是], [0, 3, 255, 0, 是, 是], [1, 0, 255, 63, 是, 是], [1, 1, 63, 63, 是, 是], [1, 2, 63, 12, 是, 是], [1, 3, 63, 0, 是, 是], [2, 0, 255, 12, 是, 是], [2, 1, 63, 12, 是, 是], [2, 2, 12, 12, 是, 是], [2, 3, 12, 0, 是, 是], [3, 0, 255, 0, 是, 是], [3, 1, 63, 0, 是, 是], [3, 2, 12, 0, 是, 是], [3, 3, 0, 0, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴

規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [product first projection, [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []], [0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2], [1]], [[[0, 100], 0], [[0, 101], 0], [[1, 100], 1], [[1, 101], 1], [[2, 100], 2], [[2, 101], 2], [[3, 100], 3], [[3, 101], 3]]]

操作後

derived = [[[[], [], 是], [[0, 1, 2, 3], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], 是], [[0, 1, 2], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], 是], [[1], [[1, 100], [1, 101]], 是]], 是]

條件：無

連續性逐所有target開集的完整反像驗證，不是只看單點、image開集或有限samples。map先依原始domain對齊image，再連同image排序。

步驟識別與依賴

規則：Continuity_ALL_target_open_preimages · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [product second projection, [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []], [100, 101], [[], [100, 101]], [[[0, 100], 100], [[0, 101], 101], [[1, 100], 100], [[1, 101], 101], [[2, 100], 100], [[2, 101], 101], [[3, 100], 100], [[3, 101], 101]]]

操作後

derived = [[[[], [], 是], [[100, 101], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], 是]], 是]

條件：無

連續性逐所有target開集的完整反像驗證，不是只看單點、image開集或有限samples。map先依原始domain對齊image，再連同image排序。

步驟識別與依賴

規則：Continuity_ALL_target_open_preimages · 依賴：G001, S010

逐步反向核對

S011 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
S010 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
S009 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
S008 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
S007 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
S006 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
S005 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
S004 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
S003 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
S002 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
S001 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。

結論

([[[], [], 是], [[0, 1, 2, 3], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], 是], [[0, 1, 2], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101]], 是], [[1], [[1, 100], [1, 101]], 是]], [[[], [], 是], [[100, 101], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], 是]], 是, 是, 是, all_projection_preimages_are_open)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: 3284db4c871546e36f84343bf63507bee69aa0ed3078938e62f0413d3ec5e8d4
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Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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