R0052-26624 · q-20261015-advance-20261117-r06-path-connected-space-0049
unit-interval path的continuity、兩端點與全range containment責任。操作=path-box-linear；資料={"lower":[-25,-26,-27,-28],"upper":[26,27,28,29],"start":[-24,-25,-26,-27],"end":[25,26,27,28]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — unit-interval path的continuity、兩端點與全range containment責任。操作=path-box-linear；資料={"lower":[-25,-26,-27,-28],"upper":[26,27,28,29],"start":[-24,-25,-26,-27],"end":[25,26,27,28]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [path-box-linear]
操作後
derived = [[lower, upper, start, end, formulas, continuous_path, certificate]]
條件：無
直接列出此操作及mode的完整來源欄序，不需JavaScript；布林、字串與null角色保持區別，不補欄或以答案形狀猜介面。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
source roles = [[-25, -26, -27, -28], [26, 27, 28, 29], [-24, -25, -26, -27], [25, 26, 27, 28]]
操作後
derived = [4, 是]
條件：無
逐每座標驗上下界與兩endpoint包含，維度須完全相同；允許退化座標與反向走。
規則：Path_ALL_coordinate_endpoint_premises · 依賴：G001, S001
操作前
Path coordinate0 ORIGINAL end minus start := sub(25, -24)
操作後
Path coordinate0 ORIGINAL end minus start = 49
條件：無
以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [0, -25, 26, -24, 25, 49]
操作後
derived = [gamma_i(t)=(1-t)*start_i+t*end_i, 0<=t<=1, -25, 26, -24, 25]
條件：無
對所有t∈[0,1]，(1-t),t非負且和為1，故此座標夾在兩endpoint間且仍在[lower,upper]；affine函數連續，不是只驗endpoint。
規則：Path_WHOLE_coordinate_convex_range_and_continuity · 依賴：G001, S003
操作前
Path coordinate1 ORIGINAL end minus start := sub(26, -25)
操作後
Path coordinate1 ORIGINAL end minus start = 51
條件：無
以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [1, -26, 27, -25, 26, 51]
操作後
derived = [gamma_i(t)=(1-t)*start_i+t*end_i, 0<=t<=1, -26, 27, -25, 26]
條件：無
對所有t∈[0,1]，(1-t),t非負且和為1，故此座標夾在兩endpoint間且仍在[lower,upper]；affine函數連續，不是只驗endpoint。
規則：Path_WHOLE_coordinate_convex_range_and_continuity · 依賴：G001, S005
操作前
Path coordinate2 ORIGINAL end minus start := sub(27, -26)
操作後
Path coordinate2 ORIGINAL end minus start = 53
條件：無
以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
source roles = [2, -27, 28, -26, 27, 53]
操作後
derived = [gamma_i(t)=(1-t)*start_i+t*end_i, 0<=t<=1, -27, 28, -26, 27]
條件：無
對所有t∈[0,1]，(1-t),t非負且和為1，故此座標夾在兩endpoint間且仍在[lower,upper]；affine函數連續，不是只驗endpoint。
規則：Path_WHOLE_coordinate_convex_range_and_continuity · 依賴：G001, S007
操作前
Path coordinate3 ORIGINAL end minus start := sub(28, -27)
操作後
Path coordinate3 ORIGINAL end minus start = 55
條件：無
以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [3, -28, 29, -27, 28, 55]
操作後
derived = [gamma_i(t)=(1-t)*start_i+t*end_i, 0<=t<=1, -28, 29, -27, 28]
條件：無
對所有t∈[0,1]，(1-t),t非負且和為1，故此座標夾在兩endpoint間且仍在[lower,upper]；affine函數連續，不是只驗endpoint。
規則：Path_WHOLE_coordinate_convex_range_and_continuity · 依賴：G001, S009
S010 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Path coordinate3 ORIGINAL end minus start，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Path coordinate2 ORIGINAL end minus start，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Path coordinate1 ORIGINAL end minus start，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Path coordinate0 ORIGINAL end minus start，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。([-25, -26, -27, -28], [26, 27, 28, 29], [-24, -25, -26, -27], [25, 26, 27, 28], [-24+(49)t, -25+(51)t, -26+(53)t, -27+(55)t], 是, coordinatewise_convex_combination_stays_in_box)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: f6152f5444a706b6721ac5c99ccf90e2f6a4d922919d5540e1d735e93afdb66ecandidate record SHA-256: 7577227e18ac3b0088a935d1da20ba3514629294a53f90aafe7a241ab767ebf8semantic review receipt SHA-256: 729b25cbf6bf5cb1d07a21a511ae216ec5fdd54a4a7aa2f7c21156b81ff37252question-first witness SHA-256: d1ab788770eaad04f986986e65afb0d55791e8a8c0d747e9a2b499f79fe78df2Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED