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第 26508 題：拓撲連通分支

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0052-26508 · q-20261015-advance-20261117-r07-topological-connected-component-0083

原題與已知條件

subspace connectedness、包含關係maximality與完整component partition責任。操作=component-boundary；資料={"mode":"cardinality_not_definition","model":{"points":[0,1,2,3],"topology":[[],[0,1,2,3],[0],[1,2,3]],"basepoint":0}}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — subspace connectedness、包含關係maximality與完整component partition責任。操作=component-boundary；資料={"mode":"cardinality_not_definition","model":{"points":[0,1,2,3],"topology":[[],[0,1,2,3],[0],[1,2,3]],"basepoint":0}}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [component-boundary]

操作後

derived = [[mode, basepoint, own_component, larger_component, own_size, larger_size, global_maximum_definition, certificate]]

條件：無

直接列出此操作及mode的完整來源欄序，不需JavaScript；布林、字串與null角色保持區別，不補欄或以答案形狀猜介面。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [component ORIGINAL space, [0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0], [1, 2, 3]], 否]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0], [1, 2, 3]], [[0, 0, 0, 0, 是, 是], [0, 1, 15, 0, 是, 是], [0, 2, 1, 0, 是, 是], [0, 3, 14, 0, 是, 是], [1, 0, 15, 0, 是, 是], [1, 1, 15, 15, 是, 是], [1, 2, 15, 1, 是, 是], [1, 3, 15, 14, 是, 是], [2, 0, 1, 0, 是, 是], [2, 1, 15, 1, 是, 是], [2, 2, 1, 1, 是, 是], [2, 3, 15, 0, 是, 是], [3, 0, 14, 0, 是, 是], [3, 1, 15, 14, 是, 是], [3, 2, 15, 0, 是, 是], [3, 3, 14, 14, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴

規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [[0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0], [1, 2, 3]]]

操作後

derived = [[[1, [0], [[], [0]], null, 是], [2, [1], [[], [1]], null, 是], [3, [0, 1], [[], [0, 1], [0], [1]], [0], 否], [4, [2], [[], [2]], null, 是], [5, [0, 2], [[], [0, 2], [0], [2]], [0], 否], [6, [1, 2], [[], [1, 2]], null, 是], [7, [0, 1, 2], [[], [0, 1, 2], [0], [1, 2]], [0], 否], [8, [3], [[], [3]], null, 是], [9, [0, 3], [[], [0, 3], [0], [3]], [0], 否], [10, [1, 3], [[], [1, 3]], null, 是], [11, [0, 1, 3], [[], [0, 1, 3], [0], [1, 3]], [0], 否], [12, [2, 3], [[], [2, 3]], null, 是], [13, [0, 2, 3], [[], [0, 2, 3], [0], [2, 3]], [0], 否], [14, [1, 2, 3], [[], [1, 2, 3]], null, 是], [15, [0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0], [1, 2, 3]], [0], 否]], [[0], [1], [2], [1, 2], [3], [1, 3], [2, 3], [1, 2, 3]]]

條件：無

每個非空subset都用O∩A生成全部subspace opens，再找proper非空part及其相對補集同開的separation。不存在者才連通；保numeric mask序，singleton自然連通。

步驟識別與依賴

規則：Component_ALL_nonempty_masks_induced_topology_no_clopen_separation · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [[[0], [1], [2], [1, 2], [3], [1, 3], [2, 3], [1, 2, 3]]]

操作後

derived = [[[0], [1, 2, 3]], 是, 是, [是, 是], [是, 是]]

條件：無

從完整連通族按包含關係取maximal，不取最大基數。兩分支若交非空，其聯集連通使maximal性迫相同；每點singleton被包含所以覆蓋。分支closure仍連通故closed；有限多closed分支使每個補集closed，因此本有限空間亦open。

步驟識別與依賴

規則：Component_inclusion_MAXIMAL_partition_finite_clopen · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [0, [[0]]]

操作後

derived = [[0], [0], 是, 是]

條件：無

所有列出連通集共享basepoint；若其聯集有separation，每個含basepoint的連通集都落同側，另一側必空，矛盾。故聯集連通且包含全部這些集合，正是唯一inclusion-maximal分支。

步驟識別與依賴

規則：Component_basepoint_common_point_union_AND_maximality · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [0, [0], [[0], [1, 2, 3]]]

操作後

derived = [[1, 2, 3], 1, 3, 否]

條件：無

依來源canonical序取首較大other分支；本分支不能靠連通擴張，仍可比別分支小，所以maximal不是全域最大基數。

步驟識別與依賴

規則：Component_FIRST_canonical_larger_OTHER_not_global_maximum · 依賴：G001, S005

逐步反向核對

  • S006 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
  • S005 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
  • S004 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
  • S003 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
  • S002 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
  • S001 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。

結論

(cardinality_not_definition, 0, [0], [1, 2, 3], 1, 3, 否, component_is_inclusion_maximal_not_global_maximum_cardinality)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 4e4d3969e035824bf3e3e708b39a8a4fde0f068effabdc41f660e6cc75e54442
  • candidate record SHA-256: f82368b117ea79e97e4c316f897c17b0cfe5d5ae6bf9997c211e3b6860f75501
  • semantic review receipt SHA-256: 729b25cbf6bf5cb1d07a21a511ae216ec5fdd54a4a7aa2f7c21156b81ff37252
  • question-first witness SHA-256: d1ab788770eaad04f986986e65afb0d55791e8a8c0d747e9a2b499f79fe78df2
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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