第 27242 題：有限變異數IID中央極限定理

原題與已知條件

明示無限IID、共同mu、0<sigma^2<infinity與sigma*sqrt(n)標準化責任。操作=clt-binomial-lattice；資料={"success_probability":[1,2],"n":5,"threshold":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — 明示無限IID、共同mu、0<sigma^2<infinity與sigma*sqrt(n)標準化責任。操作=clt-binomial-lattice；資料={"success_probability":[1,2],"n":5,"threshold":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-central-limit-theorem-finite-variance-iid

逐步推導

source roles = [clt-binomial-lattice]

derived = [[n, success_probability, binomial_distribution, total_probability, threshold, cdf_at_threshold, normalized, standardized_threshold_description, finite_scope]]

CLT binomial ORIGINAL one minus probability := sub(1, 1/2)

CLT binomial ORIGINAL one minus probability = 1/2

source roles = [CLT binomial k0 success, 1/2, 0]

derived = [1]

CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 1/2)

CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply1 = 1/2

CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply2 := mul(1/2, 1/2)

CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply2 = 1/4

CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply3 := mul(1/4, 1/2)

CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply3 = 1/8

CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply4 := mul(1/8, 1/2)

CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply4 = 1/16

CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply5 := mul(1/16, 1/2)

CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply5 = 1/32

CLT binomial ORIGINAL power product k0 := mul(1, 1/32)

CLT binomial ORIGINAL power product k0 = 1/32

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k0 := mul(1, 1/32)

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k0 = 1/32

source roles = [5, 0, 1/2, 1/2]

derived = [1, 1, 1/32, 1/32]

CLT binomial k1 success ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 1/2)

CLT binomial k1 success ORIGINAL power multiply1 = 1/2

CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 1/2)

CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply1 = 1/2

CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply2 := mul(1/2, 1/2)

CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply2 = 1/4

CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply3 := mul(1/4, 1/2)

CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply3 = 1/8

CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply4 := mul(1/8, 1/2)

CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply4 = 1/16

CLT binomial ORIGINAL power product k1 := mul(1/2, 1/16)

CLT binomial ORIGINAL power product k1 = 1/32

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k1 := mul(5, 1/32)

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k1 = 5/32

source roles = [5, 1, 1/2, 1/2]

derived = [5, 1/2, 1/16, 5/32]

CLT binomial k2 success ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 1/2)

CLT binomial k2 success ORIGINAL power multiply1 = 1/2

CLT binomial k2 success ORIGINAL power multiply2 := mul(1/2, 1/2)

CLT binomial k2 success ORIGINAL power multiply2 = 1/4

CLT binomial k2 failure ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 1/2)

CLT binomial k2 failure ORIGINAL power multiply1 = 1/2

CLT binomial k2 failure ORIGINAL power multiply2 := mul(1/2, 1/2)

CLT binomial k2 failure ORIGINAL power multiply2 = 1/4

CLT binomial k2 failure ORIGINAL power multiply3 := mul(1/4, 1/2)

CLT binomial k2 failure ORIGINAL power multiply3 = 1/8

CLT binomial ORIGINAL power product k2 := mul(1/4, 1/8)

CLT binomial ORIGINAL power product k2 = 1/32

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k2 := mul(10, 1/32)

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k2 = 5/16

source roles = [5, 2, 1/2, 1/2]

derived = [10, 1/4, 1/8, 5/16]

CLT binomial k3 success ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 1/2)

CLT binomial k3 success ORIGINAL power multiply1 = 1/2

CLT binomial k3 success ORIGINAL power multiply2 := mul(1/2, 1/2)

CLT binomial k3 success ORIGINAL power multiply2 = 1/4

CLT binomial k3 success ORIGINAL power multiply3 := mul(1/4, 1/2)

CLT binomial k3 success ORIGINAL power multiply3 = 1/8

CLT binomial k3 failure ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 1/2)

CLT binomial k3 failure ORIGINAL power multiply1 = 1/2

CLT binomial k3 failure ORIGINAL power multiply2 := mul(1/2, 1/2)

CLT binomial k3 failure ORIGINAL power multiply2 = 1/4

CLT binomial ORIGINAL power product k3 := mul(1/8, 1/4)

CLT binomial ORIGINAL power product k3 = 1/32

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k3 := mul(10, 1/32)

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k3 = 5/16

source roles = [5, 3, 1/2, 1/2]

derived = [10, 1/8, 1/4, 5/16]

CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 1/2)

CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply1 = 1/2

CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply2 := mul(1/2, 1/2)

CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply2 = 1/4

CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply3 := mul(1/4, 1/2)

CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply3 = 1/8

CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply4 := mul(1/8, 1/2)

CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply4 = 1/16

CLT binomial k4 failure ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 1/2)

CLT binomial k4 failure ORIGINAL power multiply1 = 1/2

CLT binomial ORIGINAL power product k4 := mul(1/16, 1/2)

CLT binomial ORIGINAL power product k4 = 1/32

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k4 := mul(5, 1/32)

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k4 = 5/32

source roles = [5, 4, 1/2, 1/2]

derived = [5, 1/16, 1/2, 5/32]

CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 1/2)

CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply1 = 1/2

CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply2 := mul(1/2, 1/2)

CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply2 = 1/4

CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply3 := mul(1/4, 1/2)

CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply3 = 1/8

CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply4 := mul(1/8, 1/2)

CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply4 = 1/16

CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply5 := mul(1/16, 1/2)

CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply5 = 1/32

source roles = [CLT binomial k5 failure, 1/2, 0]

derived = [1]

CLT binomial ORIGINAL power product k5 := mul(1/32, 1)

CLT binomial ORIGINAL power product k5 = 1/32

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k5 := mul(1, 1/32)

CLT binomial ORIGINAL choose times joint k5 = 1/32

source roles = [5, 5, 1/2, 1/2]

derived = [1, 1/32, 1, 1/32]

CLT binomial ORIGINAL total mass sum0 := sum(0, 1/32)

CLT binomial ORIGINAL total mass sum0 = 1/32

CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum0 := sum(0, 1/32)

CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum0 = 1/32

CLT binomial ORIGINAL total mass sum1 := sum(1/32, 5/32)

CLT binomial ORIGINAL total mass sum1 = 3/16

CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum1 := sum(1/32, 5/32)

CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum1 = 3/16

CLT binomial ORIGINAL total mass sum2 := sum(3/16, 5/16)

CLT binomial ORIGINAL total mass sum2 = 1/2

CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum2 := sum(3/16, 5/16)

CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum2 = 1/2

CLT binomial ORIGINAL total mass sum3 := sum(1/2, 5/16)

CLT binomial ORIGINAL total mass sum3 = 13/16

CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum3 := sum(1/2, 5/16)

CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum3 = 13/16

CLT binomial ORIGINAL total mass sum4 := sum(13/16, 5/32)

CLT binomial ORIGINAL total mass sum4 = 31/32

CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum4 := sum(13/16, 5/32)

CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum4 = 31/32

CLT binomial ORIGINAL total mass sum5 := sum(31/32, 1/32)

CLT binomial ORIGINAL total mass sum5 = 1

source roles = [5, 1/2, 4, [[0, 1/32], [1, 5/32], [2, 5/16], [3, 5/16], [4, 5/32], [5, 1/32]]]

derived = [1, 31/32, z_threshold=(4-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)), 否]

逐步反向核對

• S064 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL total mass sum5，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum4，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL total mass sum4，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum3，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL total mass sum3，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum2，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL total mass sum2，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum1，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL total mass sum1，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL INCLUSIVE CDF sum0，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL total mass sum0，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL choose times joint k5，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL power product k5，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply5，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply4，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply3，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k5 success ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL choose times joint k4，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL power product k4，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k4 failure ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply4，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply3，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k4 success ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL choose times joint k3，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL power product k3，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k3 failure ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k3 failure ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k3 success ORIGINAL power multiply3，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k3 success ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k3 success ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL choose times joint k2，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL power product k2，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k2 failure ORIGINAL power multiply3，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k2 failure ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k2 failure ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k2 success ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k2 success ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL choose times joint k1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL power product k1，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply4，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply3，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k1 failure ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k1 success ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL choose times joint k0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL power product k0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply5，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply4，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply3，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial k0 failure ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT binomial ORIGINAL one minus probability，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。

結論

(5, 1/2, [[0, 1/32], [1, 5/32], [2, 5/16], [3, 5/16], [4, 5/32], [5, 1/32]], 1, 4, 31/32, 是, z_threshold=(4-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)), exact_lattice_not_normal_approximation_or_convergence_evidence)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。