R0053-27442 · q-20261015-advance-20261118-r05-p-adic-valuation-integers-0017
prime p、absolute-value factor extraction與v_p(0)=infinity責任。操作=pval-factor-extraction；資料={"p":3,"a":27}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — prime p、absolute-value factor extraction與v_p(0)=infinity責任。操作=pval-factor-extraction；資料={"p":3,"a":27}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [pval-factor-extraction]
操作後
derived = [[p, integer_a, absolute_a, valuation, unit_factor, dividing_prime_powers, factorization_identity, unit_not_divisible_by_p]]
條件：無
此頁直接列完整來源欄序與mode特定角色，不靠JavaScript或由答案外形猜介面；No、undefined、infinity各保原意。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1 := div(27, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1 = 9
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Valuation ORIGINAL a dividing prime power1 := mul(1, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL a dividing prime power1 = 3
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL a, 3, 27, 27, 1]
操作後
derived = [9, 3, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S003
操作前
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step2 := div(9, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step2 = 3
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Valuation ORIGINAL a dividing prime power2 := mul(3, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL a dividing prime power2 = 9
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL a, 3, 27, 9, 2]
操作後
derived = [3, 9, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S006
操作前
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step3 := div(3, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step3 = 1
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
Valuation ORIGINAL a dividing prime power3 := mul(9, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL a dividing prime power3 = 27
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL a, 3, 27, 3, 3]
操作後
derived = [1, 27, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S009
操作前
Valuation ORIGINAL a terminal factorization product := mul(27, 1)
操作後
Valuation ORIGINAL a terminal factorization product = 27
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL a, 3, 27, 27, 3, 1, [3, 9, 27]]
操作後
derived = [27, 1, 是, 是]
條件：無
停止時p不整除unit，所以p^(k+1)不整除|a|，k就是最高指數。負號不改整除性，factorization回到|a|，不是把負a等於正product。
規則：Valuation_terminal_NONdivisible_unit_highest_power · 依賴：G001, S011
S012 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a terminal factorization product，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a dividing prime power3，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step3，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a dividing prime power2，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step2，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a dividing prime power1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。(3, 27, 27, 3, 1, [3, 9, 27], 是, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 2ca9eddb10e839376938a0c1c409769dde5a29e983d3e9f397491adc91486018candidate record SHA-256: e95a938fe5956b79de4c63ed12cc7ad4b18d4ee3565a88af6ef6d5b89e4cb2fcsemantic review receipt SHA-256: 1b7a62514347b82518305d5feb4369a52d7d44c442a0f2b131e9eb3cd7b45f62question-first witness SHA-256: 79dc2a1077081f3ea2a03f75e32778163bf05e814cdf4c29ed86e567295f9ee1Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED