R0053-27458 · q-20261015-advance-20261118-r05-p-adic-valuation-integers-0033
prime p、absolute-value factor extraction與v_p(0)=infinity責任。操作=pval-product-additivity；資料={"p":3,"a":24,"b":-81}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — prime p、absolute-value factor extraction與v_p(0)=infinity責任。操作=pval-product-additivity；資料={"p":3,"a":24,"b":-81}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [pval-product-additivity]
操作後
derived = [[p, a, b, valuation_a, valuation_b, product, valuation_product, sum_of_valuations, additivity, infinity_convention]]
條件：無
此頁直接列完整來源欄序與mode特定角色，不靠JavaScript或由答案外形猜介面；No、undefined、infinity各保原意。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1 := div(24, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1 = 8
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Valuation ORIGINAL a dividing prime power1 := mul(1, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL a dividing prime power1 = 3
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL a, 3, 24, 24, 1]
操作後
derived = [8, 3, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S003
操作前
Valuation ORIGINAL a terminal factorization product := mul(3, 8)
操作後
Valuation ORIGINAL a terminal factorization product = 24
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL a, 3, 24, 24, 1, 8, [3]]
操作後
derived = [24, 2, 是, 是]
條件：無
停止時p不整除unit，所以p^(k+1)不整除|a|，k就是最高指數。負號不改整除性，factorization回到|a|，不是把負a等於正product。
規則：Valuation_terminal_NONdivisible_unit_highest_power · 依賴：G001, S005
操作前
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step1 := div(81, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step1 = 27
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Valuation ORIGINAL b dividing prime power1 := mul(1, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL b dividing prime power1 = 3
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL b, 3, 81, 81, 1]
操作後
derived = [27, 3, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S008
操作前
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step2 := div(27, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step2 = 9
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Valuation ORIGINAL b dividing prime power2 := mul(3, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL b dividing prime power2 = 9
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL b, 3, 81, 27, 2]
操作後
derived = [9, 9, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S011
操作前
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step3 := div(9, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step3 = 3
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
Valuation ORIGINAL b dividing prime power3 := mul(9, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL b dividing prime power3 = 27
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL b, 3, 81, 9, 3]
操作後
derived = [3, 27, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S014
操作前
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step4 := div(3, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step4 = 1
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
Valuation ORIGINAL b dividing prime power4 := mul(27, 3)
操作後
Valuation ORIGINAL b dividing prime power4 = 81
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL b, 3, 81, 3, 4]
操作後
derived = [1, 81, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S017
操作前
Valuation ORIGINAL b terminal factorization product := mul(81, 1)
操作後
Valuation ORIGINAL b terminal factorization product = 81
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL b, 3, -81, 81, 4, 1, [3, 9, 27, 81]]
操作後
derived = [81, 1, 是, 是]
條件：無
停止時p不整除unit，所以p^(k+1)不整除|a|，k就是最高指數。負號不改整除性，factorization回到|a|，不是把負a等於正product。
規則：Valuation_terminal_NONdivisible_unit_highest_power · 依賴：G001, S019
操作前
Valuation ORIGINAL a times b := mul(24, -81)
操作後
Valuation ORIGINAL a times b = -1944
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020
操作前
Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step1 := div(1944, 3)
操作後
Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step1 = 648
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
Valuation ACTUAL product dividing prime power1 := mul(1, 3)
操作後
Valuation ACTUAL product dividing prime power1 = 3
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
source roles = [Valuation ACTUAL product, 3, 1944, 1944, 1]
操作後
derived = [648, 3, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S023
操作前
Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step2 := div(648, 3)
操作後
Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step2 = 216
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024
操作前
Valuation ACTUAL product dividing prime power2 := mul(3, 3)
操作後
Valuation ACTUAL product dividing prime power2 = 9
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025
操作前
source roles = [Valuation ACTUAL product, 3, 1944, 648, 2]
操作後
derived = [216, 9, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S026
操作前
Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step3 := div(216, 3)
操作後
Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step3 = 72
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027
操作前
Valuation ACTUAL product dividing prime power3 := mul(9, 3)
操作後
Valuation ACTUAL product dividing prime power3 = 27
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028
操作前
source roles = [Valuation ACTUAL product, 3, 1944, 216, 3]
操作後
derived = [72, 27, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S029
操作前
Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step4 := div(72, 3)
操作後
Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step4 = 24
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030
操作前
Valuation ACTUAL product dividing prime power4 := mul(27, 3)
操作後
Valuation ACTUAL product dividing prime power4 = 81
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031
操作前
source roles = [Valuation ACTUAL product, 3, 1944, 72, 4]
操作後
derived = [24, 81, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S032
操作前
Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step5 := div(24, 3)
操作後
Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step5 = 8
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033
操作前
Valuation ACTUAL product dividing prime power5 := mul(81, 3)
操作後
Valuation ACTUAL product dividing prime power5 = 243
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034
操作前
source roles = [Valuation ACTUAL product, 3, 1944, 24, 5]
操作後
derived = [8, 243, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S035
操作前
Valuation ACTUAL product terminal factorization product := mul(243, 8)
操作後
Valuation ACTUAL product terminal factorization product = 1944
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036
操作前
source roles = [Valuation ACTUAL product, 3, -1944, 1944, 5, 8, [3, 9, 27, 81, 243]]
操作後
derived = [1944, 2, 是, 是]
條件：無
停止時p不整除unit，所以p^(k+1)不整除|a|，k就是最高指數。負號不改整除性，factorization回到|a|，不是把負a等於正product。
規則：Valuation_terminal_NONdivisible_unit_highest_power · 依賴：G001, S037
操作前
Valuation ORIGINAL exponent addition := sum(1, 4)
操作後
Valuation ORIGINAL exponent addition = 5
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038
操作前
source roles = [3, 24, -81, 1, 4, 8, 1]
操作後
derived = [-1944, 5, 5, 是]
條件：無
非零時a=±p^r*u,b=±p^s*v，prime p不整除u,v就不整除uv（Euclid lemma），故最高指數恰r+s。若一因子0則product0，依同一infinity約定相加；derived product可達1e12，仍是SAFE，不套raw1e6。
規則：Valuation_GENERAL_product_primeness_unit_product_or_zero · 依賴：G001, S039
S040 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL exponent addition，不以小數近似替代。S038 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product terminal factorization product，不以小數近似替代。S036 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product dividing prime power5，不以小數近似替代。S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step5，不以小數近似替代。S033 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product dividing prime power4，不以小數近似替代。S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step4，不以小數近似替代。S030 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product dividing prime power3，不以小數近似替代。S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step3，不以小數近似替代。S027 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product dividing prime power2，不以小數近似替代。S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step2，不以小數近似替代。S024 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product dividing prime power1，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step1，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a times b，不以小數近似替代。S020 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b terminal factorization product，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b dividing prime power4，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step4，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b dividing prime power3，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step3，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b dividing prime power2，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step2，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b dividing prime power1，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step1，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a terminal factorization product，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a dividing prime power1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。(3, 24, -81, 1, 4, -1944, 5, 5, 是, infinity_plus_k_equals_infinity)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: cf46553e01feeafbf3209f4464187bd2fcfdc1efba614647b6e43b84f6c1f382candidate record SHA-256: fcc09bd702e1feed53f8a6e6619ba8cb5a34d9c13c3f313272f806d980e6a0f4semantic review receipt SHA-256: 1b7a62514347b82518305d5feb4369a52d7d44c442a0f2b131e9eb3cd7b45f62question-first witness SHA-256: 79dc2a1077081f3ea2a03f75e32778163bf05e814cdf4c29ed86e567295f9ee1Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED