R0053-27480 · q-20261015-advance-20261118-r05-p-adic-valuation-integers-0055
prime p、absolute-value factor extraction與v_p(0)=infinity責任。操作=pval-sum-ultrametric；資料={"p":11,"a":605,"b":726}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — prime p、absolute-value factor extraction與v_p(0)=infinity責任。操作=pval-sum-ultrametric；資料={"p":11,"a":605,"b":726}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [pval-sum-ultrametric]
操作後
derived = [[p, a, b, valuation_a, valuation_b, sum, valuation_sum, minimum_valuation, ultrametric_inequality, valuations_unequal, equality_when_unequal_or_not_guaranteed]]
條件：無
此頁直接列完整來源欄序與mode特定角色，不靠JavaScript或由答案外形猜介面；No、undefined、infinity各保原意。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1 := div(605, 11)
操作後
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1 = 55
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Valuation ORIGINAL a dividing prime power1 := mul(1, 11)
操作後
Valuation ORIGINAL a dividing prime power1 = 11
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL a, 11, 605, 605, 1]
操作後
derived = [55, 11, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S003
操作前
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step2 := div(55, 11)
操作後
Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step2 = 5
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Valuation ORIGINAL a dividing prime power2 := mul(11, 11)
操作後
Valuation ORIGINAL a dividing prime power2 = 121
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL a, 11, 605, 55, 2]
操作後
derived = [5, 121, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S006
操作前
Valuation ORIGINAL a terminal factorization product := mul(121, 5)
操作後
Valuation ORIGINAL a terminal factorization product = 605
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL a, 11, 605, 605, 2, 5, [11, 121]]
操作後
derived = [605, 5, 是, 是]
條件：無
停止時p不整除unit，所以p^(k+1)不整除|a|，k就是最高指數。負號不改整除性，factorization回到|a|，不是把負a等於正product。
規則：Valuation_terminal_NONdivisible_unit_highest_power · 依賴：G001, S008
操作前
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step1 := div(726, 11)
操作後
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step1 = 66
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Valuation ORIGINAL b dividing prime power1 := mul(1, 11)
操作後
Valuation ORIGINAL b dividing prime power1 = 11
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL b, 11, 726, 726, 1]
操作後
derived = [66, 11, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S011
操作前
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step2 := div(66, 11)
操作後
Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step2 = 6
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
Valuation ORIGINAL b dividing prime power2 := mul(11, 11)
操作後
Valuation ORIGINAL b dividing prime power2 = 121
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL b, 11, 726, 66, 2]
操作後
derived = [6, 121, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S014
操作前
Valuation ORIGINAL b terminal factorization product := mul(121, 6)
操作後
Valuation ORIGINAL b terminal factorization product = 726
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
source roles = [Valuation ORIGINAL b, 11, 726, 726, 2, 6, [11, 121]]
操作後
derived = [726, 6, 是, 是]
條件：無
停止時p不整除unit，所以p^(k+1)不整除|a|，k就是最高指數。負號不改整除性，factorization回到|a|，不是把負a等於正product。
規則：Valuation_terminal_NONdivisible_unit_highest_power · 依賴：G001, S016
操作前
Valuation ORIGINAL a plus b := sum(605, 726)
操作後
Valuation ORIGINAL a plus b = 1331
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
Valuation ACTUAL sum ORIGINAL division step1 := div(1331, 11)
操作後
Valuation ACTUAL sum ORIGINAL division step1 = 121
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
Valuation ACTUAL sum dividing prime power1 := mul(1, 11)
操作後
Valuation ACTUAL sum dividing prime power1 = 11
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
source roles = [Valuation ACTUAL sum, 11, 1331, 1331, 1]
操作後
derived = [121, 11, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S020
操作前
Valuation ACTUAL sum ORIGINAL division step2 := div(121, 11)
操作後
Valuation ACTUAL sum ORIGINAL division step2 = 11
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
Valuation ACTUAL sum dividing prime power2 := mul(11, 11)
操作後
Valuation ACTUAL sum dividing prime power2 = 121
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
source roles = [Valuation ACTUAL sum, 11, 1331, 121, 2]
操作後
derived = [11, 121, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S023
操作前
Valuation ACTUAL sum ORIGINAL division step3 := div(11, 11)
操作後
Valuation ACTUAL sum ORIGINAL division step3 = 1
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024
操作前
Valuation ACTUAL sum dividing prime power3 := mul(121, 11)
操作後
Valuation ACTUAL sum dividing prime power3 = 1331
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025
操作前
source roles = [Valuation ACTUAL sum, 11, 1331, 11, 3]
操作後
derived = [1, 1331, 0, 是]
條件：無
當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。
規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S026
操作前
Valuation ACTUAL sum terminal factorization product := mul(1331, 1)
操作後
Valuation ACTUAL sum terminal factorization product = 1331
條件：無
逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027
操作前
source roles = [Valuation ACTUAL sum, 11, 1331, 1331, 3, 1, [11, 121, 1331]]
操作後
derived = [1331, 1, 是, 是]
條件：無
停止時p不整除unit，所以p^(k+1)不整除|a|，k就是最高指數。負號不改整除性，factorization回到|a|，不是把負a等於正product。
規則：Valuation_terminal_NONdivisible_unit_highest_power · 依賴：G001, S028
操作前
source roles = [11, 605, 726, 2, 2, 2]
操作後
derived = [1331, 3, 是, 否, not_guaranteed]
條件：無
提取共同p^min後剩整數和，故至少有min個p因子。若r<s，括號u+p^(s-r)v模p等於非零u，所以恰r；對稱同理。r=s時可能cancel、提高指數或維持相同，因此最後欄是not_guaranteed，不是宣告本次不等。
規則：Valuation_GENERAL_common_power_ultrametric_AND_unequal_case · 依賴：G001, S029
S030 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S029 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL sum terminal factorization product，不以小數近似替代。S027 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL sum dividing prime power3，不以小數近似替代。S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL sum ORIGINAL division step3，不以小數近似替代。S024 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL sum dividing prime power2，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL sum ORIGINAL division step2，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL sum dividing prime power1，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL sum ORIGINAL division step1，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a plus b，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b terminal factorization product，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b dividing prime power2，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step2，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b dividing prime power1，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step1，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a terminal factorization product，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a dividing prime power2，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step2，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a dividing prime power1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。(11, 605, 726, 2, 2, 1331, 3, 2, 是, 否, not_guaranteed)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 815efda37b1366828d2a0dd4111b41346dc253c5c97c6671328ce6437eb4c7eccandidate record SHA-256: 6d55401a4f583e069fe9c88f4f88ceacb201d047034dfbdfe8fe3197335aeb01semantic review receipt SHA-256: 1b7a62514347b82518305d5feb4369a52d7d44c442a0f2b131e9eb3cd7b45f62question-first witness SHA-256: 79dc2a1077081f3ea2a03f75e32778163bf05e814cdf4c29ed86e567295f9ee1Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED