第 28037 題：Newton法

原題與已知條件

Newton更新、root-first停止與nonzero derivative責任。操作=newton-finite-orbit；明示資料={"coefficients":[-12,0,1],"steps":1,"x0":3}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

• G001 — Newton更新、root-first停止與nonzero derivative責任。操作=newton-finite-orbit；明示資料={"coefficients":[-12,0,1],"steps":1,"x0":3}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-newton-method

逐步推導

source roles = [qf-mod50-newton-finite-orbit, newton-finite-orbit]

derived = [[coefficients_low_to_high, step_budget, step_records, status, final_iterate, convergence_or_rate_proof_claim, finite_scope]]

Newton ORIGINAL orbit polynomial ORIGINAL derivative coefficient1 := mul(1, 0)

Newton ORIGINAL orbit polynomial ORIGINAL derivative coefficient1 = 0

Newton ORIGINAL orbit polynomial ORIGINAL derivative coefficient2 := mul(2, 1)

Newton ORIGINAL orbit polynomial ORIGINAL derivative coefficient2 = 2

source roles = [Newton ORIGINAL orbit polynomial, [-12, 0, 1]]

derived = [[-12, 0, 1], [0, 2]]

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner multiply degree2 := mul(0, 3)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner multiply degree2 = 0

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner add coefficient2 := sum(0, 1)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner add coefficient2 = 1

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner multiply degree1 := mul(1, 3)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner multiply degree1 = 3

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner add coefficient1 := sum(3, 0)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner add coefficient1 = 3

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner multiply degree0 := mul(3, 3)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner multiply degree0 = 9

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner add coefficient0 := sum(9, -12)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner add coefficient0 = -3

Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner multiply degree1 := mul(0, 3)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner multiply degree1 = 0

Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner add coefficient1 := sum(0, 2)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner add coefficient1 = 2

Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner multiply degree0 := mul(2, 3)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner multiply degree0 = 6

Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner add coefficient0 := sum(6, 0)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner add coefficient0 = 6

Newton ORIGINAL orbit attempt0 ORIGINAL f over fprime := div(-3, 6)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 ORIGINAL f over fprime = -1/2

Newton ORIGINAL orbit attempt0 ORIGINAL tangent zero update := sub(3, -1/2)

Newton ORIGINAL orbit attempt0 ORIGINAL tangent zero update = 7/2

source roles = [Newton ORIGINAL orbit attempt0, [-12, 0, 1], [0, 2], 3]

derived = [-3, 6, updated, 7/2]

source roles = [Newton ORIGINAL orbit, 1, 否]

derived = [[[0, 3, -3, 6, updated, 7/2]], step_budget_exhausted, 7/2]

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
• S017 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 ORIGINAL tangent zero update，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 ORIGINAL f over fprime，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner add coefficient0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner multiply degree0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner add coefficient1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 fprime ORIGINAL Horner multiply degree1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner add coefficient0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner multiply degree0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner add coefficient1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner multiply degree1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner add coefficient2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit attempt0 f ORIGINAL Horner multiply degree2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit polynomial ORIGINAL derivative coefficient2，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL orbit polynomial ORIGINAL derivative coefficient1，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。

結論

([-12, 0, 1], 1, [[0, 3, -3, 6, updated, 7/2]], step_budget_exhausted, 7/2, 否, finite_exact_orbit_is_not_a_convergence_or_quadratic_rate_certificate)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。