第 28051 題：Newton法

原題與已知條件

Newton更新、root-first停止與nonzero derivative責任。操作=newton-square-root-orbit；明示資料={"radicand":2,"steps":1,"x0":2}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

• G001 — Newton更新、root-first停止與nonzero derivative責任。操作=newton-square-root-orbit；明示資料={"radicand":2,"steps":1,"x0":2}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-newton-method

逐步推導

source roles = [qf-mod50-newton-square-root-orbit, newton-square-root-orbit]

derived = [[radicand, initial_iterate, step_budget, step_records, status, final_iterate, final_absolute_residual, general_Newton_proof_claim, finite_scope]]

Newton sqrt attempt0 ORIGINAL square := mul(2, 2)

Newton sqrt attempt0 ORIGINAL square = 4

Newton sqrt attempt0 ORIGINAL signed residual := sub(4, 2)

Newton sqrt attempt0 ORIGINAL signed residual = 2

Newton sqrt attempt0 ORIGINAL A over x := div(2, 2)

Newton sqrt attempt0 ORIGINAL A over x = 1

Newton sqrt attempt0 ORIGINAL x plus A over x := sum(2, 1)

Newton sqrt attempt0 ORIGINAL x plus A over x = 3

Newton sqrt attempt0 ORIGINAL half update := div(3, 2)

Newton sqrt attempt0 ORIGINAL half update = 3/2

Newton sqrt ORIGINAL final square EVEN steps0 := mul(3/2, 3/2)

Newton sqrt ORIGINAL final square EVEN steps0 = 9/4

Newton sqrt ORIGINAL final signed residual := sub(9/4, 2)

Newton sqrt ORIGINAL final signed residual = 1/4

source roles = [2, 2, 1]

derived = [[[0, 2, 2, updated, 3/2]], step_budget_exhausted, 3/2, 1/4, 否]

逐步反向核對

• S009 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt ORIGINAL final signed residual，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt ORIGINAL final square EVEN steps0，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL half update，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL x plus A over x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL A over x，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL signed residual，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL square，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。

結論

(2, 2, 1, [[0, 2, 2, updated, 3/2]], step_budget_exhausted, 3/2, 1/4, 否, finite_square_root_orbit_does_not_prove_a_general_Newton_theorem)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。