R0066-33930 · q-20261015-pulse-20261119-r05-0030
exact residual、forward error、conditioning與tolerance convention。操作=numerr-affine-propagation；明示資料={"input_error_bound":[5,3],"slope":1}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。
G001 — exact residual、forward error、conditioning與tolerance convention。操作=numerr-affine-propagation；明示資料={"input_error_bound":[5,3],"slope":1}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-mod50-numerr-affine-propagation, [domain, input_error_bound, operation, slope]]
操作後
derived = [numerr-affine-propagation, Exact_numerical_error_density]
條件：無
原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。
規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001
操作前
source roles = [propagation ORIGINAL slope, 100000000, 1, 1]
操作後
derived = [[1, 1], 1]
條件：無
先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。
規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S001
操作前
propagation ORIGINAL slope ORIGINAL numerator over denominator := div(1, 1)
操作後
propagation ORIGINAL slope ORIGINAL numerator over denominator = 1
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [propagation ORIGINAL input bound, 100000000, 5, 3]
操作後
derived = [[5, 3], 5/3]
條件：無
先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。
規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S003
操作前
propagation ORIGINAL input bound ORIGINAL numerator over denominator := div(5, 3)
操作後
propagation ORIGINAL input bound ORIGINAL numerator over denominator = 5/3
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [Affine output error bound SOURCE naive mul, 100000000, 5, 3]
操作後
derived = [[5, 3], 5/3]
條件：無
先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。
規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S005
操作前
Affine output error bound SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator := div(5, 3)
操作後
Affine output error bound SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator = 5/3
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Affine output error bound ORIGINAL rational mul := mul(1, 5/3)
操作後
Affine output error bound ORIGINAL rational mul = 5/3
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [1, 5/3]
操作後
derived = [5/3]
條件：無
由|m(x+δ)+b−(mx+b)|=|m|*|δ|≤|m|*bound；bound非負，m或bound為0合法。這是此affine model的absolute bound，不辨識rounding/truncation/measurement來源或證convergence。
規則：Error_AFFINE_propagation_absolute_bound_INCLUDES_zero · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine output error bound ORIGINAL rational mul，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine output error bound SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 propagation ORIGINAL input bound ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 propagation ORIGINAL slope ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。(1, 5/3, 5/3, affine_output_absolute_error_bound)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 1f928b96171d7a7f96887fc54f9cceaff5018332efbfb39c74223c77798d1485candidate record SHA-256: 68eb1ef951c27f872a2dfbbd9ea1c416ed1ce148f0be1bc8f98d6c02c9f5d799semantic review receipt SHA-256: 99b4f114b2ec93164b6aa5681e0107033a240e7a3f0a8988633ba65320ede267question-first witness SHA-256: d9bd3a1940da8a73f790ee3fe460c9a8523791bdbe72c8e0304e3740b66710ccLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED