R0067-34004 · q-20261015-pulse-20261119-r05-0054
exact residual、forward error、conditioning與tolerance convention。操作=numerr-conditioning-witness；明示資料={"residual":4,"slope_a":1,"slope_b":5}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。
G001 — exact residual、forward error、conditioning與tolerance convention。操作=numerr-conditioning-witness；明示資料={"residual":4,"slope_a":1,"slope_b":5}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-mod50-numerr-conditioning-witness, [domain, operation, residual, slope_a, slope_b]]
操作後
derived = [numerr-conditioning-witness, Exact_numerical_error_density]
條件：無
按本bank核keys與operation/domain：legacy為各表underscore，MOD50用local hyphen；BASE參數較寬不加未知欄限制。Number.isInteger與SAFE兩種來源界分開，原JSON數字表示仍完整保存。
規則：R67_SOURCE_specific_keys_operation_domain_and_numeric_bank · 依賴：G001
操作前
source roles = [conditioning ORIGINAL residual, 4, 1]
操作後
derived = [[4, 1], 4]
條件：無
MOD50先驗原num/den各±1億與非零den，之後才約分；不能先cross-cancel以規避此來源界。超界是SOURCE切片不合，不是數學為假。
規則：Conditioning_SOURCE_naive_PREreduction_1e8_then_sign_gcd · 依賴：G001, S001
操作前
conditioning ORIGINAL residual ORIGINAL numerator over nonzero denominator := div(4, 1)
操作後
conditioning ORIGINAL residual ORIGINAL numerator over nonzero denominator = 4
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [conditioning ORIGINAL slope A, 1, 1]
操作後
derived = [[1, 1], 1]
條件：無
MOD50先驗原num/den各±1億與非零den，之後才約分；不能先cross-cancel以規避此來源界。超界是SOURCE切片不合，不是數學為假。
規則：Conditioning_SOURCE_naive_PREreduction_1e8_then_sign_gcd · 依賴：G001, S003
操作前
conditioning ORIGINAL slope A ORIGINAL numerator over nonzero denominator := div(1, 1)
操作後
conditioning ORIGINAL slope A ORIGINAL numerator over nonzero denominator = 1
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [conditioning ORIGINAL slope B, 5, 1]
操作後
derived = [[5, 1], 5]
條件：無
MOD50先驗原num/den各±1億與非零den，之後才約分；不能先cross-cancel以規避此來源界。超界是SOURCE切片不合，不是數學為假。
規則：Conditioning_SOURCE_naive_PREreduction_1e8_then_sign_gcd · 依賴：G001, S005
操作前
conditioning ORIGINAL slope B ORIGINAL numerator over nonzero denominator := div(5, 1)
操作後
conditioning ORIGINAL slope B ORIGINAL numerator over nonzero denominator = 5
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
source roles = [A, 1]
操作後
derived = [1, 是]
條件：無
先驗斜率非零再取abs，正residual對不同abs slopes才是辨別兩種forward errors的有效例；不能拿兩個相反但同絕對值斜率當此反例。
規則：Conditioning_NONzero_absolute_slope_before_division · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [conditioning error A SOURCE naive division, 4, 1]
操作後
derived = [[4, 1], 4]
條件：無
MOD50先驗原num/den各±1億與非零den，之後才約分；不能先cross-cancel以規避此來源界。超界是SOURCE切片不合，不是數學為假。
規則：Conditioning_SOURCE_naive_PREreduction_1e8_then_sign_gcd · 依賴：G001, S008
操作前
conditioning error A SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator := div(4, 1)
操作後
conditioning error A SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator = 4
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
conditioning error A ORIGINAL residual divided by absolute slope := div(4, 1)
操作後
conditioning error A ORIGINAL residual divided by absolute slope = 4
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [B, 5]
操作後
derived = [5, 是]
條件：無
先驗斜率非零再取abs，正residual對不同abs slopes才是辨別兩種forward errors的有效例；不能拿兩個相反但同絕對值斜率當此反例。
規則：Conditioning_NONzero_absolute_slope_before_division · 依賴：G001, S011
操作前
source roles = [conditioning error B SOURCE naive division, 4, 5]
操作後
derived = [[4, 5], 4/5]
條件：無
MOD50先驗原num/den各±1億與非零den，之後才約分；不能先cross-cancel以規避此來源界。超界是SOURCE切片不合，不是數學為假。
規則：Conditioning_SOURCE_naive_PREreduction_1e8_then_sign_gcd · 依賴：G001, S012
操作前
conditioning error B SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator := div(4, 5)
操作後
conditioning error B SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator = 4/5
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
conditioning error B ORIGINAL residual divided by absolute slope := div(4, 5)
操作後
conditioning error B ORIGINAL residual divided by absolute slope = 4/5
條件：無
依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
source roles = [4, 1, 5]
操作後
derived = [4, 4/5, 是]
條件：無
affine模型由residual=abs(slope)*forward得forward=residual/abs(slope)。相同正residual可有不同forward error，因model尺度不同；這個例不提供任意問題的condition number理論或收斂證書。
規則：Conditioning_SAME_positive_residual_DIFFERENT_affine_forward_errors · 依賴：G001, S015
S016 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning error B ORIGINAL residual divided by absolute slope，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning error B SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。S012 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning error A ORIGINAL residual divided by absolute slope，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning error A SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。S008 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning ORIGINAL slope B ORIGINAL numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning ORIGINAL slope A ORIGINAL numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning ORIGINAL residual ORIGINAL numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。(4, 1, 4, 5, 4/5, 是, same_residual_can_have_different_forward_error_under_different_conditioning)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: bca7f7839da9bbb5e46a960db21f98db03ae489d2acaca4f763e5ac052436293candidate record SHA-256: d6cccd37a8aee81acaaed60af35d0566e23af0d7f0795c59eef3876c34198a2esemantic review receipt SHA-256: c89efa383b67bb2cf25bcf16160b9f5f614bbe5e5e791f4d7f58234d17a3371cquestion-first witness SHA-256: 12766d451c5375842b4fc2843ae94807ec55f15763a916558026912a13873d57Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED