第 33866 題：梯度向量

原題與已知條件

fixed standard Euclidean coordinates中的完整ordered gradient vector。操作=graddeep-linearity；明示資料={"alpha":[1,2],"beta":[4,3],"gradient_f":[16,0],"gradient_g":[1,-16]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

• G001 — fixed standard Euclidean coordinates中的完整ordered gradient vector。操作=graddeep-linearity；明示資料={"alpha":[1,2],"beta":[4,3],"gradient_f":[16,0],"gradient_g":[1,-16]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gradient-vector

逐步推導

source roles = [qf-mod50-graddeep-linearity, [alpha, beta, domain, gradient_f, gradient_g, operation]]

derived = [graddeep-linearity, Exact_gradient_vector_density]

source roles = [gradient f ORIGINAL raw coordinate0, 100000000, 16, 1]

derived = [[16, 1], 16]

gradient f ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator := div(16, 1)

gradient f ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator = 16

source roles = [gradient f ORIGINAL raw coordinate1, 100000000, 0, 1]

derived = [[0, 1], 0]

gradient f ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator := div(0, 1)

gradient f ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator = 0

source roles = [gradient f ORIGINAL, [16, 0]]

derived = [[16, 0]]

source roles = [gradient g ORIGINAL raw coordinate0, 100000000, 1, 1]

derived = [[1, 1], 1]

gradient g ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator := div(1, 1)

gradient g ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator = 1

source roles = [gradient g ORIGINAL raw coordinate1, 100000000, -16, 1]

derived = [[-16, 1], -16]

gradient g ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator := div(-16, 1)

gradient g ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator = -16

source roles = [gradient g ORIGINAL, [1, -16]]

derived = [[1, -16]]

source roles = [alpha ORIGINAL, 100000000, 1, 2]

derived = [[1, 2], 1/2]

alpha ORIGINAL ORIGINAL numerator over denominator := div(1, 2)

alpha ORIGINAL ORIGINAL numerator over denominator = 1/2

source roles = [beta ORIGINAL, 100000000, 4, 3]

derived = [[4, 3], 4/3]

beta ORIGINAL ORIGINAL numerator over denominator := div(4, 3)

beta ORIGINAL ORIGINAL numerator over denominator = 4/3

source roles = [Gradient linearity alpha f coordinate0 SOURCE naive mul, 100000000, 16, 2]

derived = [[8, 1], 8]

Gradient linearity alpha f coordinate0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator := div(16, 2)

Gradient linearity alpha f coordinate0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator = 8

Gradient linearity alpha f coordinate0 ORIGINAL rational mul := mul(1/2, 16)

Gradient linearity alpha f coordinate0 ORIGINAL rational mul = 8

source roles = [Gradient linearity beta g coordinate0 SOURCE naive mul, 100000000, 4, 3]

derived = [[4, 3], 4/3]

Gradient linearity beta g coordinate0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator := div(4, 3)

Gradient linearity beta g coordinate0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator = 4/3

Gradient linearity beta g coordinate0 ORIGINAL rational mul := mul(4/3, 1)

Gradient linearity beta g coordinate0 ORIGINAL rational mul = 4/3

source roles = [Gradient linearity sum coordinate0 SOURCE naive sum, 100000000, 28, 3]

derived = [[28, 3], 28/3]

Gradient linearity sum coordinate0 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator := div(28, 3)

Gradient linearity sum coordinate0 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator = 28/3

Gradient linearity sum coordinate0 ORIGINAL rational sum := sum(8, 4/3)

Gradient linearity sum coordinate0 ORIGINAL rational sum = 28/3

source roles = [Gradient linearity alpha f coordinate1 SOURCE naive mul, 100000000, 0, 2]

derived = [[0, 1], 0]

Gradient linearity alpha f coordinate1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator := div(0, 2)

Gradient linearity alpha f coordinate1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator = 0

Gradient linearity alpha f coordinate1 ORIGINAL rational mul := mul(1/2, 0)

Gradient linearity alpha f coordinate1 ORIGINAL rational mul = 0

source roles = [Gradient linearity beta g coordinate1 SOURCE naive mul, 100000000, -64, 3]

derived = [[-64, 3], -64/3]

Gradient linearity beta g coordinate1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator := div(-64, 3)

Gradient linearity beta g coordinate1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator = -64/3

Gradient linearity beta g coordinate1 ORIGINAL rational mul := mul(4/3, -16)

Gradient linearity beta g coordinate1 ORIGINAL rational mul = -64/3

source roles = [Gradient linearity sum coordinate1 SOURCE naive sum, 100000000, -64, 3]

derived = [[-64, 3], -64/3]

Gradient linearity sum coordinate1 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator := div(-64, 3)

Gradient linearity sum coordinate1 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator = -64/3

Gradient linearity sum coordinate1 ORIGINAL rational sum := sum(0, -64/3)

Gradient linearity sum coordinate1 ORIGINAL rational sum = -64/3

source roles = [[16, 0], [1, -16], 1/2, 4/3]

derived = [[28/3, -64/3]]

逐步反向核對

• S034 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity sum coordinate1 ORIGINAL rational sum，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity sum coordinate1 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity beta g coordinate1 ORIGINAL rational mul，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity beta g coordinate1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity alpha f coordinate1 ORIGINAL rational mul，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity alpha f coordinate1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity sum coordinate0 ORIGINAL rational sum，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity sum coordinate0 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity beta g coordinate0 ORIGINAL rational mul，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity beta g coordinate0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity alpha f coordinate0 ORIGINAL rational mul，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient linearity alpha f coordinate0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 beta ORIGINAL ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alpha ORIGINAL ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S011 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 gradient g ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 gradient g ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 gradient f ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 gradient f ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。

結論

([16, 0], [1, -16], 1/2, 4/3, [28/3, -64/3], pointwise_gradient_linearity_in_fixed_coordinates)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。