第8章 二次方程

一次方程整理後只剩一個非零的一次項，二次方程則有非零的二次項。它可能有兩個不同實根、一個實根，也可能沒有實根；不能沿用「方程一定只有一個答案」的習慣。

本章在實數範圍求解ax²＋bx＋c＝0，先要求a≠0。√u在u≥0時表示非負的主平方根；√9是3，而方程z²＝9的實數解是3與−3，兩個問題不要混在一起。

8.1 配方是在兩邊補上同一個量

(x−h)²＝x²−2hx＋h²由分配律得到。看到x²−6x，可以想到h＝3，但必須補上9，才真的是一個平方。

例題1 解x²−6x＋5＝0

1. 兩邊同減5，得到x²−6x＝−5。
2. 兩邊同加9，得到x²−6x＋9＝4。
3. 左邊是(x−3)²，所以方程同解於(x−3)²＝4。
4. 令u＝x−3。因u²−4＝(u−2)(u＋2)，零乘積性質給出u＝2或u＝−2。
5. 所以x＝3＋2＝5，或x＝3−2＝1。
6. 回代1得到1−6＋5＝0，回代5得到25−30＋5＝0，兩者都符合原式。

所有改寫都可逆，而u²＝4的兩個分支已完整列出，因此全部實根是1與5。不能只取主平方根2而丟掉u＝−2。

圖展示正數x與正數3的拼合，不把本例中的−3畫成負的實際長度。負號版本及任意實數的配方，仍使用前面已述的代數恆等式。

8.2 一般公式的條件不能省略

從ax²＋bx＋c＝0出發，先保留a≠0，逐步完成配方：

1. 兩邊同乘非零的4a，得到4a²x²＋4abx＋4ac＝0。即使a是負數，這裡仍是等式；乘回倒數就能反向還原。
2. 兩邊同減4ac，得到4a²x²＋4abx＝−4ac。
3. 兩邊同加b²，得到4a²x²＋4abx＋b²＝b²−4ac。
4. 依分配律，左邊恰為(2ax＋b)²。因此方程同解於：

(2ax＋b)²＝b²−4ac。

右邊記為D，稱為判別式。若D≥0，令s＝√D，則s≥0且s²＝D。再令u＝2ax＋b，平方方程u²＝D等價於(u−s)(u＋s)＝0。由零乘積性質，u＝s或u＝−s；反向把這兩個值平方，也都回到u²＝D，所以兩個分支已完整列出。也就是2ax＋b＝±√D。由2a≠0再同除2a，得到：

x＝(−b±√D)/(2a)。

±表示兩個分支，不是任意挑一個。D＞0時兩根不同；D＝0時兩個寫法得到同一個數，只算一個不同實根，通常稱為二重根；D＜0時實數平方不可能等於負數，所以沒有實根。這裡的「沒有」只限實數範圍。

例題2 解2x²＋3x−2＝0

1. a＝2、b＝3、c＝−2，先確認a≠0。
2. D＝3²−4 × 2 × (−2)＝9＋16＝25。
3. 代入公式，x＝(−3±5)/4。
4. 加號分支是2/4＝1/2；減號分支是−8/4＝−2。
5. 回代1/2：2 × (1/4)＋3/2−2＝0；回代−2：8−6−2＝0。
6. D＞0且公式由可逆配方得到，全部實根是1/2與−2。

8.3 負判別式不是計算器故障

例題3 解x²＋2x＋5＝0

1. 兩邊同減5再同加1，得到x²＋2x＋1＝−4。
2. 左邊是(x＋1)²，所以要有某個實數的平方等於−4。
3. 實數平方皆非負，這個要求不可能，所以沒有實根。
4. 也可檢查D＝2²−4 × 1 × 5＝−16＜0，結論一致。

8.4 本章回顧

先確認二次係數不為0，再選擇因式分解、配方或公式。平方根的主值與解平方方程的正負分支不同；算出候選根後仍要回代原式，但全部解的完整性來自合法變形與完整分支。

8.5 練習

1. B02-C08-Q01　求x²＝9的全部實根。
2. B02-C08-Q02　解(x−2)²＝0，計算不同實根的個數。
3. B02-C08-Q03　解x²−5x＋6＝0。
4. B02-C08-Q04　解x²＋4x＋4＝0。
5. B02-C08-Q05　用配方解x²−2x−1＝0，以根式保留精確答案。
6. B02-C08-Q06　判斷x²＋1＝0的實數解。
7. B02-C08-Q07　解3x²−12x＝0，注意可能的零根。
8. B02-C08-Q08　用配方解x²−4x＋1＝0。

8.6 完整解答

Q01

x²−9＝(x−3)(x＋3)，乘積等於0，所以x＝3或x＝−3。兩者平方均為9；零乘積性質排除了其他可能。√9的主值為3，不等於方程只剩3這一個根。

Q02

實數平方等於0時，底數只能為0，因此x−2＝0，x＝2。這是一個不同的實根；重複因子不產生兩個不同的數。

Q03

x²−5x＋6＝(x−2)(x−3)，所以全部實根是2與3。回代分別得到4−10＋6＝0與9−15＋6＝0。

Q04

x²＋4x＋4＝(x＋2)²，因此x＋2＝0，唯一不同的實根是−2。回代4−8＋4＝0。

Q05

移常數並同加1，得到(x−1)²＝2，所以x−1＝√2或−√2。全部實根是1＋√2與1−√2。回代可用(x−1)²−2＝0檢查；兩個分支都使平方為2，沒有把根式改成近似小數。

Q06

原式要求x²＝−1，實數平方非負，所以沒有實根。不能寫成x＝√(−1)後仍宣稱它是本章的實數答案。

Q07

提出3x，得3x(x−4)＝0。3≠0，因此x＝0或x＝4。回代都為0；若先約掉x，就會漏掉0。

Q08

同加3並配方，得到(x−2)²＝3，所以x＝2＋√3或2−√3。兩個數代入(x−2)²−3都為0；完整的正負分支給出全部實根。