第3章 數列極限與尾界
3.1 把「最後都很近」寫成條件
數列 aₙ 收斂到有限實數 L，意指：
對每個 ε>0，都有正整數 N，使得對所有 n≥N，|aₙ−L|<ε。
讀的順序是先收到 ε，再挑 N，最後檢查整條尾段。N 可以依賴 ε，不能在看到某個 n 不合格時再把 N 改成比它更大。這個定義用嚴格小於，因此卡在誤差帶邊界的項不合格。求出一個可用的 N 就能證明收斂，不必每次追求最小值。
3.2 四個例題
例題1 用整數跨過嚴格門檻
aₙ=1/n，候選 L=0。要 1/n<ε，等價於 n>1/ε。可取 N=⌊1/ε⌋+1，因為它嚴格大於 1/ε；每個 n≥N 也都大於門檻。
例如 ε=1/50，n=50 恰好等於誤差，不能採用；N=51 可以。只寫「取 N 為 1/ε 四捨五入」不保證嚴格大於。
例題2 先整理誤差再解不等式
aₙ=(2n+1)/(n+3)。減去候選2得 −5/(n+3)，故誤差為 5/(n+3)。對任意 ε>0，取正整數 N>5/ε 即可，因為 n+3≥N+3>N>5/ε。
若 ε=1/10，精確門檻是 n+3>50，即 n>47，故最小可用 N=48。比較兩個選法：較保守的界也足以完成證明。
例題3 根式尾界
欲證明 1/√n→0，要求 1/√n<ε。n 和 ε 都為正，倒數與平方的方向可追蹤：等價於 √n>1/ε，再等價於 n>1/ε²。取 N=⌊1/ε²⌋+1；例如 ε=1/10 時可取101。
例題4 不用猜擺動方向
設 aₙ=(−1)^n/(n+2)。無論奇偶，|aₙ|=1/(n+2)≤1/n。給定 ε>0，先為上界 1/n 找 N；同一 N 使所有 n≥N 的 |aₙ|<ε。正負交替並不必然破壞收斂，這裡擺幅隨 n 消失。
3.3 唯一性、夾擠與無窮大
若 L、M 都是極限而 L≠M，令 ε=|L−M|/3。各自取到尾界 N_L、N_M，再取 N=max(N_L,N_M)。同一項 a_N 同時在兩個 ε 鄰域，三角不等式便給 |L−M|≤|L−a_N|+|a_N−M|<2|L−M|/3，矛盾。用最大值對齊尾界是關鍵；不能任選一項就假定兩個條件成立。
若從某個下標起 bₙ≤aₙ≤cₙ，且 bₙ、cₙ 都收斂到 L，給定 ε 後取三個下標的最大值，便有 L−ε<bₙ≤aₙ≤cₙ<L+ε。這是夾擠，不必把中間式展開。相反地，aₙ→+∞ 是「每給高度 M，後續所有項最終大於 M」，不是收斂到一個實數。
3.4 練習
- B06-C03-Q01 對 1/n、L=0、ε=1/4，找最小尾界 N。
- B06-C03-Q02 對 1/n、L=0、ε=1/12，說明 N=12 為何不合格並修正。
- B06-C03-Q03 求 (3n−2)/(n+1) 的極限。ε=1/4 時找最小 N。
- B06-C03-Q04 對 1/n²，ε=1/100 時找最小 N。
- B06-C03-Q05 用尾段條件證明 (−1)^n 沒有有限極限。
- B06-C03-Q06 若 N 已是合格尾界，N+5 必合格嗎？N−1 呢？
- B06-C03-Q07 用誤差上界證明 sin(n)/n→0。
- B06-C03-Q08 前9項都是100，第10項起 aₙ=1+1/n。寫出極限與一個合格尾界公式。
- B06-C03-Q09 依正無窮的定義證明 n²→+∞。
- B06-C03-Q10 對同一 ε，uₙ 與 vₙ 分別從7、21起合格；同時控制兩項可取哪個 N？
3.5 完整解答
Q01
1/n<1/4 等價於 n>4，故 N=5。n=4 只達到等號，不能讓尾段從4開始。
Q02
n=12 時 1/n=ε，而定義要求小於。取 N=13，所有 n≥13 均有 1/n≤1/13<1/12。
Q03
(3n−2)/(n+1)=3−5/(n+1)，所以 L=3。誤差 5/(n+1)<1/4 等價於 n+1>20，即 n≥20；N=20 且 n=19 在邊界。
Q04
1/n²<1/100 等價於 n²>100。n 為正整數，故 n≥11，最小 N=11。用平方根把門檻從100降回10。
Q05
令 ε=1/2。任何尾段都有1與−1；若兩者距同一 L 都小於1/2，則它們距離小於1，與距離2矛盾。
Q06
n≥N+5 蘊含 n≥N，所以一定合格。N−1 若仍是正整數，不一定合格；例如 Q01 的 N=5 改成4便失敗。
Q07
|sin(n)/n|≤1/n。取 N=⌊1/ε⌋+1，則 n≥N 時右側嚴格小於 ε，故原數列收斂到0，不需要 sin(n) 本身收斂。
Q08
極限為1。取 N=max(10,⌊1/ε⌋+1)；這既排除前9項，又保證 |aₙ−1|=1/n<ε。
Q09
任給實數 M。若 M<0，N=1 即可；若 M≥0，取 N=⌊√M⌋+1。所有 n≥N 均有 n²≥N²>M，這正是趨向正無窮的條件。
Q10
取 N=max(7,21)=21。n≥21 兩個尾界都已生效。資料未說原來的尾界是最小值，所以不能斷言21是共同最小尾界。