第4章 函數極限
4.1 去掉中心，只問靠近
設 f 的定義域為 D，a 是 D 的聚點：任意小鄰域都有異於 a 的 D 中點。相對於 D 的有限極限定義為：
對每個 ε>0，都有 δ>0，使得 x∈D 且 0<|x−a|<δ 時，|f(x)−L|<ε。
這裡不用 f(a)，甚至不要求 a∈D。聚點條件很重要：若附近根本沒有合格的 x，僅檢查條件句會讓每個 L 看似都可用。定義 δ 時先知道 ε，並要控制鄰域內的全部合格 x，而非幾個選好的點。
左極限只考慮 a−δ<x<a，右極限只考慮 a<x<a+δ，各自要有可任意靠近的點。若兩側都能靠近，兩側同為 L 等價於整個去心極限為 L：一方向靠限制輸入；反方向對同一 ε 取兩個 δ 的較小者。
4.2 四個例題
例題1 原式無值，極限仍有值
f(x)=(x²−4)/(x−2)，定義域排除2。x≠2 時由因式分解得 f(x)=x+2。要證明極限是4，注意 |f(x)−4|=|x−2|，可取 δ=ε。
補成 f(2)=4 或補成 f(2)=100 都不改變去心鄰域的值；但兩種補法在連續性上會不同。
例題2 左右不同，不能用中心點救回來
定義 f(x)=1（x<0）、f(0)=7、f(x)=3（x>0）。靠左全為1，靠右全為3，兩個單側極限不同，所以雙側極限不存在。把7改成任何數，都不會改變兩側。
例題3 把不易控制的因子先壓住
證明 x² 在 x→2 時趨近4。因 |x²−4|=|x−2||x+2|，先要求 |x−2|<1，則 1<x<3，於是 |x+2|<5。再取 δ=min(1,ε/5)，可得 |x²−4|<5δ≤ε。
這個選擇同時做兩件事：第一個上限管住另一因子，第二個把誤差壓到要求以下。
例題4 端點只剩可用的一側
f(x)=√x 的實數定義域是 [0,∞)。在 x→0 時，所有合格去心點在右邊。取 δ=ε²，0<x<δ 便給 √x<ε，所以相對定義域的極限為0，也就是右極限。沒有左側實數輸入；若題目採「兩側都可接近」的雙側術語，就應明寫右極限。
4.3 練習
- B06-C04-Q01 以 ε–δ 證明 3x+2 在 x→1 時趨近5。
- B06-C04-Q02 求 (x²−9)/(x−3) 在 x→3 的極限，並說明原式點值。
- B06-C04-Q03 求 |x|/x 在 x=0 的左右極限。
- B06-C04-Q04 把例題1的函數在 x=2 定成100；極限與點值各是多少？
- B06-C04-Q05 對 x²、a=1、L=1，ε=0.03 時給出可用的 δ。
- B06-C04-Q06 對 √x 在0的右極限，ε=0.05 時給可用的 δ。
- B06-C04-Q07 δ=0.1、a=2 時，x=2、2.05、2.1 哪些滿足 0<|x−a|<δ？
- B06-C04-Q08 例題2改成 f(0)=2，是否有雙側極限？
- B06-C04-Q09 說明 sin(1/x) 在 x→0⁺ 沒有極限，給兩組靠近0的輸入。
- B06-C04-Q10 D={0}∪[1,∞)。為什麼不能用 0<|x|<1 內沒有輸入，宣稱在0有任意極限？
4.4 完整解答
Q01
|3x+2−5|=3|x−1|。令 δ=ε/3；對所有 0<|x−1|<δ，誤差小於 ε。
Q02
x≠3 時原式等於 x+3，故誤差 |x+3−6|=|x−3|，極限為6。分母在3為零，原式未定義。
Q03
x<0 時 |x|=−x，商是−1；x>0 時商是1。左右分別是−1與1，沒有共同極限。
Q04
去心鄰域仍由 x+2 給值，極限是4；新定義的點值是100。代入中心和求極限不是同一操作。
Q05
取 δ=0.01。|x−1|<δ≤1 時 |x+1|<3，所以 |x²−1|<3δ=0.03。
Q06
取 δ=(0.05)²=1/400。0<x<δ 時 √x<√δ=0.05，所以右側條件成立。
Q07
只有2.05。x=2 的距離0被排除；x=2.1 距離等於0.1，也因嚴格小於而排除。
Q08
沒有。左側仍全部取1，右側仍全部取3；中心由7改為2不能改動單側極限。
Q09
取 x_k=1/(π/2+2kπ) 和 y_k=1/(3π/2+2kπ)，k≥1。兩組皆正且趨近0，而函數值分別恆為1與−1。若右極限存在，兩組足夠晚的輸入都得落在同一 δ 內，使兩個值同在小誤差帶，矛盾。
Q10
0不是 D 的聚點。沒有異於0且任意靠近0的定義域點，這個空條件無法區分候選值；本冊的極限定義不在孤立點使用。