第5章 極限的運算

5.1 規則有適用條件

假設 f、g 在同一個可靠近 a 的論域上，且各有有限極限 L、M。和的誤差至多是 |f−L|+|g−M|，各分配 ε/2 並取兩個 δ 的較小者，便得到 f+g→L+M。差與常數倍也由同一類估計得到。

乘積要先控制大小。因 f→L，足夠靠近時 |f|≤|L|+1。拆開 fg−LM=f(g−M)+M(f−L)，誤差至多是 (|L|+1)|g−M|+|M||f−L|。對兩個誤差各選足夠小的界，就能讓總和小於 ε；例如令兩誤差都小於 ε/(|L|+|M|+2)。這一步解釋了為什麼不能不加條件地把會變大的因子當固定數。

商還要求 M≠0。先令 |g−M|<|M|/2，則 |g|>|M|/2，不會有零分母。再用：

|1/g−1/M|=|g−M|/(|g||M|)≤2|g−M|/|M|²。

於是 1/g→1/M，與乘積規則合起來得到 f/g→L/M。多項式可由常數、x 與有限次和、積組成，因此在任一點可直接代入；有理式直接代入則必須確認分母在該點非零。

同一組估計也適用於 x→+∞ 或 x→−∞，前提是共同論域在指定方向無界。把共同 δ 換成共同尾界。向右時取各門檻的最大值，向左時取各門檻的最小值，再於共同論域檢查所有合格 x。

5.2 四個例題

例題1 非零分母可直接使用商規則

求 (2x²+1)/(x−3) 在 x→1 的極限。分子由多項式規則趨近3，分母趨近−2；−2非零，因此可相除，極限為−3/2。

例題2 根式差先有理化

求 [√(4+h)−2]/h 在 h→0 的極限。h≠0 且 4+h≥0 時，把分子與分母同乘非零的 √(4+h)+2，分子變為 h。約去 h 後得 1/[√(4+h)+2]。

根式趨近2可由 |√(4+h)−2|=|h|/[√(4+h)+2]≤|h|/2 看出。簡式分母趨近4且非零，故極限是1/4；原差商在 h=0 仍未定義。

例題3 零比零必須再判斷

在 x≠0 的鄰域，x/x=1，x²/x=x，x/x²=1/x。前兩個極限分別是1和0；最後一個在右側任意大、左側任意負，無有限極限。三個原式直接代入都出現「0/0」，它只告訴我們商規則的分母條件不成立。

例題4 到無窮遠可換成小量

求 x→+∞ 時 (3x²−x+2)/(2x²+1) 的極限。x>0 時除分子分母以 x²，得 (3−1/x+2/x²)/(2+1/x²)。給定 ε>0，x>1/ε 使 0<1/x<ε；故新分子、分母趨近3、2。答案是3/2，而不是把 ∞ 當作可相除的實數。

5.3 夾擠也可用於函數

若同一去心鄰域內 g(x)≤f(x)≤h(x)，且上下界函數都趨近 L，取兩個誤差條件的共同 δ，就得到 L−ε<f(x)<L+ε。這裡不需要中間式本來就有極限。沒有共用論域、只在零星取樣點成立，或兩界趨向不同數時，都不能套這個結論。

5.4 練習

1. B06-C05-Q01 求 (x+1)(x²−1) 在 x→2 的極限。
2. B06-C05-Q02 求 (x−1)/(x²+4) 在 x→0 的極限。
3. B06-C05-Q03 求 (x²−1)/(x−1) 在 x→1 的極限，說明可約分的條件。
4. B06-C05-Q04 求 [√(1+h)−1]/h 在 h→0 的極限。
5. B06-C05-Q05 求 x/(x²+1) 在 x→+∞ 的極限。
6. B06-C05-Q06 求 (4x+3)/(2x−1) 在 x→−∞ 的極限。
7. B06-C05-Q07 用夾擠求 x sin(1/x) 在 x→0 的極限。
8. B06-C05-Q08 x²/x² 的分子與分母都趨近0，為何商仍有極限？
9. B06-C05-Q09 g(x)→−4 時，如何保證近處 |g(x)|>2？求 1/g(x) 的極限。
10. B06-C05-Q10 1/x−1/x 在 x→0 有極限嗎？可否直接用兩個有限極限的差規則？

5.5 完整解答

Q01

兩因子都是多項式，代入2分別得3和3，乘積規則給極限9。

Q02

分子趨近−1，分母趨近4且非零，故商趨近−1/4。

Q03

只在 x≠1 時可約去 x−1，得到 x+1；因此極限為2。原式在1無定義，並未因約分改變。

Q04

取 h≠0 且足夠近0，乘分子分母以 √(1+h)+1，得 1/[√(1+h)+1]。根式與1的差之絕對值不超過 |h|；分母趨近2非零，故極限1/2。

Q05

在 x>0 除以 x²，得 (1/x)/(1+1/x²)。分子趨近0，分母趨近1，商趨近0。

Q06

在 x<0 且遠離0時除以 x，得 (4+3/x)/(2−1/x)。由 |1/x| 可任意小，分子趨近4、分母趨近2，答案2。

Q07

x≠0 時 |x sin(1/x)|≤|x|；下界 −|x|、上界 |x| 都趨近0，所以原式趨近0。不能先說 sin(1/x) 有極限。

Q08

x≠0 時 x²≠0，商恆等於1，所以極限1。直接商規則不適用，不等於極限不存在。

Q09

用 ε=2 得近處 |g(x)+4|<2，由反三角不等式 |g(x)|≥4−|g(x)+4|>2。因極限 −4 非零，倒數趨近−1/4。

Q10

x≠0 時兩項相減恆為0，所以極限0。個別的 1/x 沒有有限雙側極限；這是先化簡原式，不是套有限極限的差規則。