第6章 連續與介值
6.1 連續把近處接回點值
f 在定義域內的 a 連續，意指對每個 ε>0，可找 δ>0，使 x∈D 且 |x−a|<δ 時 |f(x)−f(a)|<ε。因中心 x=a 的誤差本來就是0，在聚點可拆成三個檢查：點值存在、去心極限存在、二者相等。在端點按定義域一側判斷；孤立的定義域點相對連續，但不憑空取得去心極限。
多項式在全實數連續；有理式在分母不為零的點連續。這來自上一章的極限規則。接合兩段時，要在接縫核對兩側與點值，不能只因兩段各自的公式平滑便說整體連續。
6.2 四個例題
例題1 補洞的唯一連續點值
在 x≠2 定 f(x)=x+1，另令 f(2)=k。去心極限為3，故連續等價於 k=3。當 k=3 時三項條件都成立；k=4 時只是換了實心點的位置，極限仍不變。
例題2 接合兩條規則
左段 x≤1 取 x²，右段 x>1 取 2x+k。f(1)=1，左極限1，右極限2+k。因此只有 2+k=1，也就是 k=−1，才能接成連續函數。這個計算目前只比高度，沒有用斜率代替連續性的檢查。
例題3 不解方程也能保證有根
取 f(x)=x³+x−1。它在 [0,1] 連續，且 f(0)=−1、f(1)=1。介值定理保證存在 c∈(0,1) 使 f(c)=0。這是存在性，不是根的近似數值，也不是唯一性證明。
例題4 兩端異號但中間跳過零
在 [−1,1] 上令 f(x)=−1（x<0）、f(x)=1（x≥0）。兩端異號，卻沒有任何點取0，因為它在0跳躍。這不是介值定理的反例，而是漏掉連續前提時的反例。
6.3 介值定理為什麼成立
若 f 在閉區間 [a,b] 連續，介於 f(a)、f(b) 的任一實數 k，都等於某個 f(c)，c∈[a,b]。k 若等於端點值，該端點就可作 c。若嚴格介於兩端，可設 f(a)<k<f(b)；反向時對 −f 使用同樣論證。
令 S 是 [a,b] 中滿足 f(x)≤k 的點。S 含 a 且有上界，故上確界 c 存在。a 的連續性及 f(a)<k 保證 a 右方有點在 S；b 的連續性及 f(b)>k 排除 b 的一整段左鄰域，故 a<c<b。
若 f(c)<k，連續性給 c 右方仍有點在 S，違反上界。若 f(c)>k，則 c 的小鄰域內都大於 k；S 沒有點超過 c，也不能在 c 下方任意靠近 c，違反最小上界。兩種情況都不可能，因此 f(c)=k。
6.4 練習
- B06-C06-Q01 判斷 f(x)=x² 在2是否連續，寫出極限與點值。
- B06-C06-Q02 把 (x²−16)/(x−4) 在 x=4 補成連續，應填什麼值？
- B06-C06-Q03 x≤0 取 x+2，x>0 取 3x+k。求在0連續的 k。
- B06-C06-Q04 x≠0 都取2，f(0)=5。在哪個點不連續？怎樣補正？
- B06-C06-Q05 f(x)=√(x−1) 在定義域的端點1是否連續？
- B06-C06-Q06 用介值定理證明 x²−2 在 (1,2) 有零點。
- B06-C06-Q07 閉區間兩端皆為正，能否據此斷定無根？給一個有根例和一個無根例。
- B06-C06-Q08 x³−x 在 [−2,2] 上可用介值定理保證有根。能否說恰有一根？
- B06-C06-Q09 f 在 [−1,2] 連續，f(−1)=3、f(2)=7。能保證取到5嗎？取到的位置有何範圍？
- B06-C06-Q10 1/x 在 −1 與1異號，可否用介值定理推出零點？
6.5 完整解答
Q01
多項式極限可直接代入，故 x→2 時 x²→4，且 f(2)=4。極限等於點值，連續。
Q02
x≠4 時原式等於 x+4，故去心極限8。定 f(4)=8，才使極限和點值相等。
Q03
左極限及點值皆為2，右極限是 k；因此且僅當 k=2 時連續。
Q04
在0有極限2但點值5，所以不連續。其他點取足夠小鄰域不含0，函數恆為2。把 f(0) 改為2便修補。
Q05
是。定義域 [1,∞)，f(1)=0。若 0≤x−1<ε²，則 √(x−1)<ε；這已檢查所有合格近處輸入。
Q06
多項式在 [1,2] 連續，端點值 −1 與2，0嚴格介於其間。介值定理給 c∈(1,2) 使 c²−2=0。
Q07
不能。在 [−1,1] 上，x² 兩端皆為1且在0有根；常數1兩端也皆為1卻無根。端點同號只讓「異號保證」不能直接使用。
Q08
不能。x³−x=x(x−1)(x+1)，所以 −1、0、1 都是區間內的零點。介值定理只保證至少一個。
Q09
5嚴格介於3與7，且函數整段連續，故至少有一個 c∈(−1,2) 取到5。資訊不足以指定 c 的唯一位置。
Q10
不能，1/x 在0未定義，不是在 [−1,1] 上連續的函數。對所有合法 x≠0，1/x≠0，確實無根。