第8章 微分規則
8.1 從差商而不是背口訣開始
若 f、g 都在 a 可微，和的差商就是兩個差商相加，故 (f+g)′(a)=f′(a)+g′(a)；常數倍同理。正整數冪可從差商取得。對整數 m≥2 且 x≠a，因式分解得 (x^m−a^m)/(x−a) 等於 m 個乘積項之和，每一項在 x→a 時趨近 a^(m−1)，故導數是 m a^(m−1)。m=1 直接由 x 的差商得1。零次多項式項直接寫成常數1，導數為0。若原式 x^0 沿用第一冊非零底數的約定，這個常數簡式及其導數都只用於原定義域 x≠0。
乘積的分子可插入並減去 f(a+h)g(a)：
f(a+h)g(a+h)−f(a)g(a)=f(a+h)[g(a+h)−g(a)]+g(a)[f(a+h)−f(a)]。
除以 h≠0 並取極限，由可微必連續使 f(a+h)→f(a)，所以 (fg)′=f′g+fg′，各量在同一點取值。一般不是 f′g′。
若 g(a)≠0，可微又使 g 在 a 附近連續，故近處保持非零。倒數的差商為 −[g(a+h)−g(a)]/[h·g(a+h)g(a)]，極限是 −g′(a)/g(a)²。與乘積規則合併得：
(f/g)′=(f′g−fg′)/g²，限在原商有定義且兩函數可微的點。
8.2 鏈鎖律不必除以可能為零的增量
令 F=f∘g，u=g(a)，Δg=g(a+h)−g(a)。假設 g 在 a 可微，f 在 u 可微；兩點附近的規則有合法論域。把外層差商記為 R(v)=[f(u+v)−f(u)]/v（v≠0），並定 R(0)=f′(u)。按導數定義，R 在0連續。
對小的 h≠0，F 的差商恆等於 R(Δg)·Δg/h。Δg≠0 時是代數約分；Δg=0 時兩邊同為0，沒有除以零。因 Δg→0、Δg/h→g′(a)，得到 F′(a)=f′(g(a))g′(a)。
8.3 四個例題
例題1 展開與乘積規則互核
f(x)=(x²+1)(x−2)。乘積規則給 2x(x−2)+(x²+1)=3x²−4x+1。也可先展開 x³−2x²+x−2 再逐項微分，所得相同。兩條路核對同一個導數，而不是改變函數。
例題2 商的分子次序
f(x)=(x²+1)/(x−1)，x≠1。分子導數2x，分母導數1，故 f′(x)=[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)²。在 x=0 值為−1；x=1 不在原定義域。
例題3 外層在內層的值上取斜率
f(x)=(x²+1)³。令 u=x²+1，則 d(u³)/du=3u²，du/dx=2x。因此 f′(x)=3(x²+1)²·2x=6x(x²+1)²。x=1 時得24。只寫 3(x²+1)² 會漏掉內層速度。
例題4 先化簡也要帶著孔洞
(x²−1)/(x−1) 在 x≠1 等於 x+1。每個 x≠1 都有不碰到1的小開區間，所以導數在這些點等於1。在 x=1 原函數沒有值，不能說原函數在1有導數；補成連續延拓才是另一個函數。
8.4 練習
- B06-C08-Q01 求 5x³−2x+4 的導數。
- B06-C08-Q02 用乘積規則求 x(x²+1) 的導數，再展開核對。
- B06-C08-Q03 求 (x+1)/(x+2) 的導數，保留定義域。
- B06-C08-Q04 求 (2x−3)^5 的導數。
- B06-C08-Q05 求 (x²−4)² 的導數。
- B06-C08-Q06 g(x) 恆為2，f 在2可微。求 f∘g 的導數，並說明內層增量為何不妨礙。
- B06-C08-Q07 求 (x²−4)/(x−2) 的導數。能否給原函數在2的導數？
- B06-C08-Q08 用倒數規則求 1/x² 的導數。
- B06-C08-Q09 已知 f(a)=2、f′(a)=3、g(a)=−1、g′(a)=4，求 (fg)′(a)。
- B06-C08-Q10 f(x)=x²、g(x)=x+1，分別求 f∘g 與 g∘f 的導數。
8.5 完整解答
Q01
逐項微分：5x³ 給15x²，−2x 給−2，常數4給0，所以結果是15x²−2。
Q02
導數為 1·(x²+1)+x·2x=3x²+1。展開原式成 x³+x，逐項微分仍為3x²+1。
Q03
(x+2)−(x+1)=1，故導數為 1/(x+2)²，僅在 x≠−2 有效。不能因分子簡單而忽略分母限制。
Q04
外層斜率5(2x−3)^4，內層斜率2，相乘得10(2x−3)^4。
Q05
由外平方、內層 x²−4，得 2(x²−4)·2x=4x(x²−4)。在 x=±2 結果為0，原函數在兩點有定義。
Q06
F(x)=f(2) 恆為常數，故 F′=0。鏈鎖律也給 f′(2)·0=0；增量為0時整個複合差商已是0，不必除以 Δg。
Q07
只在 x≠2 時等於 x+2，所以這些點導數1。原式在2未定義，沒有原函數的導數。
Q08
令 g=x²；x≠0 時 −g′/g²=−2x/x^4=−2/x³。原點仍排除。
Q09
f′(a)g(a)+f(a)g′(a)=3·(−1)+2·4=5。這是兩個加項，不是兩導數的乘積。
Q10
(f∘g)(x)=(x+1)²，導數2(x+1)；(g∘f)(x)=x²+1，導數2x。合成順序不同，規則與斜率一般也不同。