第9章 常見函數的導數
9.1 先分清冪的論域
正整數冪的導數由第8章得到。負整數冪是倒數：例如 x⁻³=1/x³，只在 x≠0 有定義，導數為 −3/x⁴。一般實數次方在 x>0 可定義成 exp(r ln x)，所以不能不看底數就把同一公式搬到負半軸。奇次實根另有自己的實數定義。
9.2 指數的斜率從小增量而來
這裡用 E(x)=1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ 建立自然指數，k! 是1乘到 k 的乘積。對固定 x，從 k≥1 起，下一個絕對項等於本項乘 |x|/(k+1)。當 k+1≥2|x|，這個乘數不超過1/2，故尾段可由幾何級數控制，絕對值部分和單調有界。將正項、負項各自求和，原級數就有有限值。
為了取得 E(x+y)，將 E(x)E(y) 的項按兩個下標和分組。這一步合法：未收進三角部分和的項至少有一個下標大於截斷階數的一半，絕對和由一邊的絕對尾和乘另一邊的絕對全和控制，趨近零。和為 k 的組用二項式定理化成 (x+y)^k/k!，因此 E(x+y)=E(x)E(y)。
當 0<|h|≤1/2，由 k!≥1，從二次起的絕對尾和不超過 |h|²/(1−|h|)≤2|h|²。因此：
|[E(h)−1]/h−1|≤2|h|，所以 E′(x)=E(x) lim（h→0）[E(h)−1]/h=E(x)。
E(0)=1、E(x)E(−x)=1，且 E(x)=E(x/2)²，故 E(x)>0。h>0 時級數給 E(h)>1，所以 E 嚴格增加。令 e=E(1)。對整數 m 及正整數 n，加法與倒數法則給 E(m/n)^n=E(m)=e^m。因 E(m/n)>0，所以它是 e^m 的正 n 次根。每個實數都能用有理數列逼近，連續性唯一決定延拓的值，本冊記為 e^x。
9.3 對數與一般正底數
E(x) 在 x≥0 至少是1+x，向右無界；E(−x)=1/E(x)，故向左趨近0。嚴格增加、連續與介值定理保證 E 把 ℝ 一一對應到 (0,∞)。反函數是 ln。
固定 x>0，令 v=ln(x+t)−ln x，其中 |t| 夠小使 x+t>0。v→0：對任意 η>0，E(ln x−η)<x<E(ln x+η)，當 t 夠小，x+t 仍介於兩界，反推 |v|<η。又 t=x[E(v)−1]，而 t≠0 時 v≠0，故 v/t→1/x。這證明 (ln x)′=1/x，不必先假設反函數可微。
對 a>0，a^x=E(x ln a)，所以 (a^x)′=a^x ln a。對固定實數 r 與 x>0，x^r=E(r ln x)，故導數 r x^r/x=r x^(r−1)。
9.4 三角微分用弧度
在單位圓，對 0<h<π/2，內三角形、扇形、外三角形的面積依序為 (sin h)/2、h/2、(tan h)/2。由包含關係得 sin h≤h≤tan h，故 cos h≤sin h/h≤1；負 h 利用奇偶性得到同樣夾擠。這裡 h 是弧度，不是角度數。
近0時 cos h>0，且 0≤1−cos h=sin²h/(1+cos h)≤h²，因此 cos h→1、(cos h−1)/h→0，而 sin h/h→1。展開 sin(x+h)=sin x cos h+cos x sin h；差商極限給 (sin x)′=cos x。同樣展開 cos(x+h)=cos x cos h−sin x sin h，得 (cos x)′=−sin x。再用商規則，(tan x)′=1/cos²x，限 cos x≠0。
9.5 四個例題
例題1 負整數冪與實數冪
對 x≠0，(1/x³)′=−3x²/x⁶=−3/x⁴。對 x>0，(x^(3/2))′=(3/2)x^(1/2)=(3/2)√x。兩個答案的論域來源不同，不能合併成不看 x 的口訣。
例題2 指數內層有自己的斜率
f(x)=e^(2x)，外層 E 的導數等於自己，內層2x導數2，故 f′(x)=2e^(2x)。x=0 時 E(0)=1，斜率2。
例題3 對數檢查真數
f(x)=ln(x²+1)。因 x²+1≥1，所有實數 x 都合法。用外層 1/u 與內層2x，得到 f′(x)=2x/(x²+1)。
例題4 三角合成須乘內層
f(x)=sin(3x)，內層3x以弧度解讀，導數是3。因此 f′(x)=3cos(3x)，在0的斜率為3，而非1。
9.6 練習
- B06-C09-Q01 求 x⁵−3/x 的導數與論域。
- B06-C09-Q02 在 x>0 用實數冪公式求 √x 的導數。
- B06-C09-Q03 求 e^(−x) 的導數。
- B06-C09-Q04 求 ln(3x−1) 的導數，先列合法 x。
- B06-C09-Q05 求 2^x 的導數。
- B06-C09-Q06 求 cos(2x) 的導數。
- B06-C09-Q07 求 sin x·cos x 的導數。
- B06-C09-Q08 求 tan x 在0的導數，說明為何可用商規則。
- B06-C09-Q09 實立方根 f(x) 在全實數定義。它在0有有限導數嗎？
- B06-C09-Q10 求 ln(x²) 的導數。是否能在全論域寫成2 ln x？
9.7 完整解答
Q01
x≠0。x⁵ 給5x⁴，−3x⁻¹ 給3x⁻²，所以 f′(x)=5x⁴+3/x²。x=0 不補進來。
Q02
對 x>0，√x=x^(1/2)，導數為 (1/2)x^(−1/2)=1/(2√x)。這個內點公式不能在0代入。
Q03
E 的導數是 E，內層 −x 的導數 −1，故結果 −e^(−x)。
Q04
3x−1>0 即 x>1/3。鏈鎖律給 3/(3x−1)，分母在合法論域上為正。
Q05
2^x=E(x ln 2)。內層導數 ln 2，因此結果 2^x ln 2。
Q06
外層餘弦導數 −sin，內層導數2，得 −2 sin(2x)。負號來自外層，不因合成而消失。
Q07
用乘積規則得 cos x·cos x+sin x·(−sin x)=cos²x−sin²x。
Q08
cos 0=1，近0不為零。由 (tan x)′=1/cos²x，得到 tan′(0)=1。
Q09
令 r 為 h 的實立方根，則 h=r³。h≠0 時差商 r/h=1/r²；h→0 時 r→0，故差商向正無窮增大，沒有有限導數。
Q10
真數 x²>0，所以 x≠0。導數為 2x/x²=2/x。正確對數改寫是2 ln|x|；負 x 時 ln x 在實數中無定義。