第12章 微分綜合與錯誤診斷
12.1 把解題鏈寫完整
先定論域與目標，再問要算的是點值、極限、瞬時斜率、區間極值，還是帶誤差的近似。若要引用定理，逐條檢查它的前提。解完方程後，把候選放回原論域及原函數核對：整理簡式可以變容易，不能悄悄把排除的點加回去。
12.2 四個例題
例題1 從去心極限到延拓導數
f(x)=(x²−9)/(x−3)，原論域 x≠3。去心處 f(x)=x+3，極限為6，原 f 沒有 f(3) 或 f′(3)。另定 F(3)=6 並保持其他點，則整個 F(x)=x+3。中心差商 [F(3+h)−6]/h=1（h≠0），故 F′(3)=1。說清是哪個函數，才能分辨「原式」與「補洞」。
例題2 面積最佳化保留物理條件
20公尺的圍欄圍出長方形。取相鄰邊 x、y，2x+2y=20，所以 y=10−x，實際長方形要求 0<x<10。面積 A=x(10−x)，單位平方公尺，A′=10−2x。
x<5 時 A′>0，x>5 時 A′<0，所以 x=5 在合法區間達最大；亦可驗算 A=25−(x−5)²≤25。答案是 5公尺乘5公尺、最大25平方公尺，兩端退化成零面積不算合法長方形。
例題3 位移不等於路程
s(t)=t³−6t²+9t 公尺，0≤t≤4 秒。v(t)=3(t−1)(t−3)，在 (0,1) 正、(1,3) 負、(3,4) 正。以轉向時刻分段，用單調性算各段路程。
s(0)、s(1)、s(3)、s(4) 依序為0、4、0、4。位移 s(4)−s(0)=4公尺，路程 |4−0|+|0−4|+|4−0|=12公尺。把中途正負位移抵消會低估路程。
例題4 近似先看分母，再給誤差
以 x=2 近似 1/(2+h)，線性值為 1/2−h/4。|h|≤1/10 時分母 2+h≥19/10 非零。共同分母整理給：
1/(2+h)−(1/2−h/4)=h²/[4(2+h)]。
因此線性值不大於真值，誤差至多 (1/100)/(4·19/10)=1/760。近似公式、適用步長與誤差界缺一項，都不足以作精度判斷。
12.3 常見錯誤的回查順序
若極限答案由「0/0」直接跳出，回到分母條件；若導數來自除以 h 或內層增量，核對原式是否排除零；若使用中值定理，先畫出要用的完整區間，再查連續和可微；若得到駐點，回到端點、不可微點和函數值比較。圖表的工作是幫你找到要檢查的位置，理由仍要寫出來。
12.4 練習
- B06-C12-Q01 (x²−1)/(x−1) 在1若補成2與補成3，分別判斷連續和可微。
- B06-C12-Q02 P(x)=x(8−x)，0<x<8。用導數找最大值，並用配方核對。
- B06-C12-Q03 s(t)=t²−4t，0≤t≤4。找轉向時刻、總位移及總路程。
- B06-C12-Q04 在 [0,2] 求 t³−3t 的最大最小，展示候選比較。
- B06-C12-Q05 f(x)=|x|。h≠0 時 [f(h)−f(−h)]/(2h)=0。可否推出 f′(0)=0？
- B06-C12-Q06 證明 ln x+x 在其整個實數定義域嚴格增加。
- B06-C12-Q07 求 x/(x−1) 的導數；是否在整個定義域嚴格減少？
- B06-C12-Q08 f(x)=e^(x²)。求導數，並判斷 x=0 是否為絕對最小點。
- B06-C12-Q09 用 √x 在4的線性式近似 √4.04，並用有理化給誤差界。
- B06-C12-Q10 對 f(x)=1/x 在 [1,2]，檢查中值定理前提並求 c。
12.5 完整解答
Q01
去心簡式 x+1，極限2。補2後全式等於 x+1，所以連續且導數1。補3時點值3不等於極限2，故不連續，也不可能可微。
Q02
P′=8−2x，在 (0,4) 正、(4,8) 負；x=4 合法且最大。P=16−(x−4)²，所以最大16，等號只有 x=4。
Q03
v=2t−4，t=2 左負右正，於2轉向。位置 s(0)=0、s(2)=−4、s(4)=0，位移0，路程 |−4−0|+|0−(−4)|=8。
Q04
導數 3(t²−1)，開區間只留下 t=1。比較 t=0、1、2 的值0、−2、2，得最小−2在1、最大2在2。
Q05
不能。對稱差商同時移動兩個取值點，會把相同高度相減。定義中的差商固定 f(0)，左極限−1、右極限1，不可微。
Q06
論域為 (0,∞)，f′(x)=1/x+1>0。任兩個合法 x<y 之間的閉區間仍完全在論域內，故中值定理給 f(y)>f(x)。
Q07
f′=[(x−1)−x]/(x−1)²=−1/(x−1)²，x≠1。各連通區間內嚴格減少；跨缺點不保證，例如 f(0)=0、f(2)=2，後值反而更大。
Q08
鏈鎖律給 2x e^(x²)。因 x²≥0、自然指數嚴格增加，f(x)≥e⁰=1，且僅 x=0 等號。因此0是絕對最小點；不是只因導數為零而下結論。
Q09
取 h=0.04，線性值2+h/4=2.01。令 r=√(4+h)，殘差 r−2−h/4=−h²/[4(r+2)²]。r≥2，故誤差大小≤(0.04)²/64=0.000025。
Q10
[1,2] 不含零，1/x 整段連續、內部可微。平均斜率 (1/2−1)/(2−1)=−1/2。解 −1/c²=−1/2，因 c∈(1,2) 取 c=√2，確在內部。
12.6 本冊回看
極限把靠近寫成可檢查的條件，導數把割線變化的極限寫成局部斜率，中值定理則把一整段變化與某個內點斜率連起來。下一冊才由累積與面積進入積分；本冊留下的定義域、連續與估界習慣會繼續用到。