第1章由分割到定積分

本章小節

1.1 用窄區間累積變化
1.2 四個例題
1.3 練習
1.4 完整解答

1.1 用窄區間累積變化

第六冊的導數把一小段變化除以長度；本冊反過來，把每段的變化率乘回長度，再相加。若 q(t) 以公升／分鐘計，q(t)Δt 就以公升計。只知道幾個取樣值不能決定整段累積，因此我們要讓分割的最長小段也能任意短。

設 a<b，且 f 在 [a,b] 有界。取分割 a=x₀<x₁<⋯<xₙ=b，記 Δxᵢ=xᵢ−xᵢ₋₁，網格長度為最大的 Δxᵢ。在各小段取 f 的下確界 mᵢ、上確界 Mᵢ。下和 Σ mᵢΔxᵢ 與上和 Σ MᵢΔxᵢ 夾住任意取樣點所成的和。細分不會使下和變小，也不會使上和變大；任兩分割可取共同細分，所以任何下和都不大於任何上和。

若所有下和的上確界等於所有上和的下確界，就定這個共同值為 ∫_a^b f(x) dx。這是黎曼定積分的上下和表述。閉區間的連續函數有界且一致連續：否則可取相距趨近零而函數值仍差至少某個 ε 的兩組點，從第一組取收斂子列，第二組對應點也趨近同一點，和連續性矛盾。網格夠細時，每段 Mᵢ−mᵢ 可同時小於 ε，因此上、下和差至多 ε(b−a)。這也保證任何合法取樣和都趨近共同值。

1.2 四個例題

例題1 線性高度的和可精確夾擠

取 f(x)=x，0≤x≤1。等分 n 段後寬 1/n；因 f 遞增，左端給下和，右端給上和。下和為 (0+1+⋯+n−1)/n²=(n−1)/(2n)，上和為 (1+2+⋯+n)/n²=(n+1)/(2n)。兩者都趨近 1/2，故定積分為 1/2。四等分時兩個值分別為 3/8 和 5/8，不是都等於面積。

例題2 固定流率乘時間

每分鐘流入 3 公升，從 0 到 4 分鐘。任一分割的上下高度都等於3，所以兩個和都是 3ΣΔtᵢ=3·4=12 公升。答案是累積量12，不是流率3。

例題3 有限矩形給界，不一定給等號

取 f(x)=x²，在 0 到 2 等分四段，寬 1/2。下和為 (0+1/4+1+9/4)/2=7/4，上和為 (1/4+1+9/4+4)/2=15/4。故積分落在這兩界之間。只取這四段尚不足以宣布積分等於其中一界。

例題4 端點順序決定方向

約定 ∫_a^a f=0、∫_b^a f=−∫_a^b f。由例題1，∫_1^0 x dx=−1/2，雖然區域的幾何面積是正的 1/2。順向區間內，若 f≤g，則上下和比較給 ∫f≤∫g；反向後不等號會反過來。若 f 在整段可積，先選取上、下和各自接近積分值的分割，取共同細分再加入切點 c。細分後上、下和各分成左右兩段的和，總差可任意小，所以兩段各自的差也可任意小，兩段都可積。兩段積分的和與整段積分都夾在同一對細分和之間，因而相等。

1.3 練習

B07-C01-Q01 把 0 到 2 等分四段，寫出節點與網格長度。
B07-C01-Q02 對 x 在 0 到 1 取兩等分，求左右和。
B07-C01-Q03 同上改為八等分，求上下和及差。
B07-C01-Q04 常數2在 −1 到 3 的積分及反向積分各多少？
B07-C01-Q05 對 2−x 在 0 到 2 取兩等分，哪一側給上和？求兩界。
B07-C01-Q06 例題1的上下和差要嚴格小於 1/20，最少幾段？
B07-C01-Q07 f(x)=x，分割點 0、1/4、1，求右端取樣和。
B07-C01-Q08 f 與 g 在閉區間可積且 f≤g，為何順向積分保序？
B07-C01-Q09 把 x 在 0 到 1 的函數值 f(0)=0 改成9，積分改變嗎？
B07-C01-Q10 只觀察 f(0)=f(1)=0，能否斷定積分為0？給反例和理由。

1.4 完整解答

Q01

節點為 0、1/2、1、3/2、2；每段長 1/2，所以最大段長也是 1/2。

Q02

每段寬 1/2。左和 (0+1/2)/2=1/4，右和 (1/2+1)/2=3/4。

Q03

n=8 代入得下和 7/16，上和 9/16，差 2/16=1/8。

Q04

順向區間長 3−(−1)=4，積分 2·4=8；交換端點得 −8。

Q05

2−x 遞減，故左端較高，給 2+1=3；右端給 1+0=1。積分介於1與3。

Q06

差 1/n<1/20 等價於 n>20，因此最小 n 是21。n=20 只達等號。

Q07

兩段寬 1/4、3/4，右端高度 1/4、1。和為 1/16+3/4=13/16。

Q08

每一小段內 f 的下確界不大於 g 的下確界，故同一分割下和保序；各取下和的上確界，得到 ∫f≤∫g。方向為 a<b。

Q09

只影響第一小段，其上下和變動大小至多9乘該段寬，網格趨零時此差也趨零。原共同值不變，所以仍為 1/2。

Q10

g(x)=x(1−x) 和零函數在端點同值，但 g≥0；在 1/4 到 3/4，g≥3/16（由 g=1/4−(x−1/2)²）。積分至少 3/32>0，不能由兩個樣本判定。

第1章 由分割到定積分