第2章 原函數與積分常數
2.1 導數相同，還差多少
若在一個開區間 I 上 F′=f，稱 F 為 f 的原函數。若 G 也是，則 (F−G)′=0。任取 I 中兩點，它們之間的整段都在 I 內；中值定理使 F−G 在兩點的值相同，所以 F−G 是常數。不定積分 ∫ f(x) dx 是原函數族 F(x)+C，不是已給上下限的數值。
「一個常數」依賴論域是區間。若論域分裂，每個連通區間上可以選自己的常數。檢查原函數的最快方法是微分回去，並重新檢查原來的論域；端點值若另有條件，不能用導數公式擅自延伸。
2.2 四個例題
例題1 多項式逐項找反向規則
∫(6x²−4x+5) dx=2x³−2x²+5x+C。逐項微分得到 6x²、−4x、5，合回原式。寫成不定積分要留 C；微分後常數消失，這不是缺少計算步驟。
例題2 一除以 x 必須保留分段論域
在 x>0，ln x 的導數是 1/x；在 x<0，ln(−x) 的導數是 (−1)/(−x)=1/x。因此 ln|x| 在兩側都是原函數，但 x=0 不合法。在整個 x≠0 的論域，完整族是左段 ln|x|+C₋、右段 ln|x|+C₊，兩常數不必相等。
例題3 用初值選定唯一一條曲線
求 F′(x)=2x+1 且 F(2)=7。先得 F=x²+x+C，代入2得到 4+2+C=7，故 C=1。再核對導數和點值。若初值只落在分裂論域的一側，它只決定那一側的常數。
例題4 三角函數用反微分核對
在弧度下 (sin x)′=cos x，所以 ∫ cos x dx=sin x+C。若另有 F(0)=2，sin0=0，便得 F=sin x+2。不要把「原函數在0的值」與「被積函數在0的值」混在一起。
2.3 練習
- B07-C02-Q01 求 4x³ 的不定積分並驗算。
- B07-C02-Q02 求 2/x 的原函數族，寫明兩側常數。
- B07-C02-Q03 求 e^(2x) 的不定積分。
- B07-C02-Q04 求 sin(3x) 的不定積分。
- B07-C02-Q05 F′(x)=3x²，F(1)=0。求 F。
- B07-C02-Q06 求 3(x−1)² 的不定積分，不必展開。
- B07-C02-Q07 求 √x 在 x>0 的原函數族。
- B07-C02-Q08 求 1/x² 的原函數，標示論域。
- B07-C02-Q09 F=x²、G=x²+3，說明為何兩者可有同一導數。
- B07-C02-Q10 在 x<0 取 F=ln|x|+2、在 x>0 取 F=ln x−1。F 是 1/x 的原函數嗎？能用單一 C 表示嗎？
2.4 完整解答
Q01
取 x⁴+C；微分給 4x³，常數項導數0，所以是完整族。
Q02
x<0 時 2ln|x|+C₋，x>0 時 2ln x+C₊。各段導數是 2/x，常數可獨立選。
Q03
(1/2)e^(2x)+C；外層指數微分仍是自己，內層乘2，抵消 1/2。
Q04
−cos(3x)/3+C；cos 的導數帶負號，內層再乘3，得到 sin(3x)。
Q05
F=x³+C；1+C=0，故 F=x³−1。代回點值為0、導數為 3x²。
Q06
(x−1)³+C。用鏈鎖律，外層給 3(x−1)²，內層導數為1。
Q07
(2/3)x^(3/2)+C。x>0 時可用實數冪公式，微分係數 (2/3)(3/2)=1，留下 √x。
Q08
x≠0 時取 −1/x+C，微分為 1/x²。若同時考慮兩個區間，各自有常數。
Q09
G−F=3，常數的導數為0，故兩者導數都是2x。函數值不同，不妨礙斜率相同。
Q10
是。每個合法點的近處留在同一側，微分得 1/x。左、右相對 ln|x| 的差分別是2和−1，不能用單一 C。