第3章 微積分基本定理
3.1 累積函數的斜率是當下的高度
設 a<b，f 在 [a,b] 連續。對 x∈[a,b]，令 F(x)=∫_a^x f(t) dt。這裡 t 是積分內的變數，x 是可移動的終點。由區間相加，F(x+h)−F(x)=∫_x^(x+h) f(t) dt，其中 x 與 x+h 都在 [a,b]，h 可為負。取 [a,b] 上的界 M，使 |f|≤M，則 |F(x+h)−F(x)|≤M|h|，所以 F 在整個閉區間連續。
差商取 h≠0。有限和的線性在取極限後保留，所以可從這段積分減掉常數高度 f(x)。
對內點 x，給定 ε>0。由 f 在 x 連續，若 |h| 夠小，夾在 x 和 x+h 間的所有 t 都滿足 |f(t)−f(x)|<ε。把差商減去 f(x)，再取絕對值，至多為 ε|h|/|h|=ε。可先用 ε/2 取得嚴格小於 ε，故：
F′(x)=f(x)。端點若要談導數，只沿區間內的方向。
這是第一部分：積分產生一條原函數。第二部分給計算法。若 H 在閉區間連續、在內部滿足 H′=f，則 H−F 的導數為0，依中值定理是常數。F(a)=0，故 ∫_a^b f=H(b)−H(a)。相減時同一個積分常數抵消；反向仍按端點順序相減。
3.2 四個例題
例題1 累積量與高度不是同一個數
F(x)=∫_0^x t² dt。取原函數 H(t)=t³/3，所以 F=x³/3。F(1)=1/3，F′(1)=1；前者是從0累積到1的量，後者是當下高度。圖面積與切線斜率有關，不表示兩個量相等。
例題2 算完原函數，按原端點相減
∫_1^3 (2t+1) dt，取 H(t)=t²+t。H(3)=12、H(1)=2，故積分為10。∫_3^1 同一式是 H(1)−H(3)=−10，不需另找原函數。
例題3 上下兩端都移動
令 G(x)=∫_x^(x²) (t+1) dt，取 H′(t)=t+1。因 G=H(x²)−H(x)，鏈鎖律給 G′=2x(x²+1)−(x+1)。兩端都要微分，下限項帶減號。x=1 時 G(1)=0，但 G′(1)=2；區間當下長度為0，不代表它的一階變化為0。
例題4 被積函數跳躍時，不能直接宣稱處處可微
在 t<0 取 f(t)=−1，在 t≥0 取 f(t)=1。∫_0^x f(t) dt 在 x>0 為 x，在 x<0 為 −x；跳點上的單點值不改變矩形積分。所以累積函數是 |x|，在0連續而不可微。基本定理在0的連續前提不成立，不能把 f(0)=1 當成雙側導數。
3.3 練習
- B07-C03-Q01 求 ∫_0^2 t³ dt。
- B07-C03-Q02 求 ∫_2^0 (1+t) dt。
- B07-C03-Q03 F(x)=∫_1^x sin t dt，求 F′。
- B07-C03-Q04 F(x)=∫_0^(3x) e^t dt，求 F′。
- B07-C03-Q05 F(x)=∫_x^2 t² dt，求 F′。
- B07-C03-Q06 ∫_a^a f(t) dt 等於多少？理由是什麼？
- B07-C03-Q07 求 ∫_(−2)^2 t³ dt，用原函數核對。
- B07-C03-Q08 例題4的累積函數在 x=−2 為何是正的？
- B07-C03-Q09 F(x)=∫_0^x cos t dt，求 F(π/2) 與 F′(0)。
- B07-C03-Q10 F(x)=∫_0^x |t| dt，F 在0可微嗎？f(t)=|t| 在0不可微是否妨礙？
3.4 完整解答
Q01
t⁴/4 的導數為 t³。端點相減得 16/4−0=4。
Q02
原函數 t+t²/2。依題給方向計算 0−(2+2)=−4。
Q03
sin 在每個有限閉區間連續。第一部分給 F′(x)=sin x；固定下限1不另生項。
Q04
外層累積函數在 3x 的導數為 e^(3x)，內層 3x 的導數為3，故 F′=3e^(3x)。
Q05
寫成 −∫_2^x t² dt，第一部分得 −x²。也可用 H(2)−H(x) 微分。
Q06
是0，依同端點的有向積分約定。若可用原函數計算，也等於同一端點值減自己。區間沒有正長度。
Q07
t⁴/4 在兩端同值4，故差為0。正、負部分抵消，不表示幾何面積為零。
Q08
由0往−2是反向；∫_(−2)^0 (−1) dt=−2，反向變2。方向和高度的負號各出現一次。
Q09
取 sin t 為原函數，F(π/2)=1−0=1。由第一部分，F′(0)=cos0=1。
Q10
可微且 F′(0)=0。第一部分只需 |t| 在0連續，沒有要求它自己在0可微。