第4章 換元與分部積分

4.1 換元是鏈鎖律的反向使用

若 H′=f，則 [H(g(x))]′=f(g(x))g′(x)。所以在條件成立時：

∫_a^b f(g(x))g′(x) dx = ∫_(g(a))^(g(b)) f(u) du。

可採用的充分條件是 g 在閉區間連續可微，且 f 在包含 g 值域的區間連續。由基本定理，兩側同為 H(g(b))−H(g(a))，因此不必另外假設 g 單調。這個式子是有向的：若 g(a)>g(b)，右側仍由 g(a) 到 g(b)。不定積分找到 H(u) 後要把 u 換回 g(x)，再加常數。

4.2 四個例題

例題1 找到整個內層微分

∫_0^1 2x e^(x²) dx。取 u=x²，du=2x dx，端點為0和1。新積分 ∫_0^1 e^u du=e−1。核對 [e^(x²)]′=2x e^(x²)，所以沒有少掉內層因子。

例題2 新端點順序不要自行交換

∫_0^2 (3−x)^4 dx，令 u=3−x，則 dx=−du，x=0 對 u=3，x=2 對 u=1。答案是 −∫_3^1 u⁴ du=(3⁵−1)/5=242/5。換端點與 −du 是兩件事，保留兩者才不會多出負值。

例題3 乘積的微分給分部積分

因 (uv)′=u′v+uv′，對連續可微的 u、v 取積分，移項得：

∫_a^b u v′ dx = [uv]_a^b − ∫_a^b u′v dx。

例如 ∫_0^1 x e^x dx，取 u=x、v=e^x。邊界項是 e，後積分是 e−1，故答案 1。選 u=x 是因為它微分後變成常數；選法不是固定口訣，應讓新積分更容易。

例題4 對數可把看不見的 1 當另一因子

∫_1^e ln x dx，取 u=ln x、v=x，則 u′v=1。由分部積分，原積分為 [x ln x−x]_1^e，端點值 0 與 −1，差為1。整段 x>0，所以 ln 與其導數都合法。

4.3 練習

1. B07-C04-Q01 求 2x(x²+1)³ 的不定積分。
2. B07-C04-Q02 求 ∫_0^(π/2) sin x cos²x dx，列出新端點。
3. B07-C04-Q03 求 ∫_0^1 (1−2x)² dx，保留換元的負號。
4. B07-C04-Q04 求 ∫_(−1)^1 2x cos(x²) dx。u=x² 不是一一對應，仍能使用鏈鎖律版本嗎？
5. B07-C04-Q05 求 x sin x 的不定積分，微分驗算。
6. B07-C04-Q06 求 ∫_0^1 x² e^x dx。
7. B07-C04-Q07 求 ∫_1^2 ln x dx。
8. B07-C04-Q08 求 cos(3x) 的不定積分。
9. B07-C04-Q09 求 x/(x²+4) 的不定積分。
10. B07-C04-Q10 用 u=1+x 求 ∫_0^1 x(1+x)³ dx，並用展開核對。

4.4 完整解答

Q01

u=x²+1，du=2x dx，得 u⁴/4+C。換回是 (x²+1)⁴/4+C。

Q02

u=cos x，du=−sin x dx，新端點 1 到0。故 −∫_1^0 u² du=1/3。

Q03

u=1−2x，dx=−du/2，新端點 1 到−1。答案 −(1/2)[u³/3]_1^(−1)=1/3。

Q04

可以。sin(x²) 的導數正是 2x cos(x²)；兩端 x² 均為1，故差為0。不需要反解 x 才能用此版本。

Q05

令 u=x、v=−cos x，得 −x cos x+∫ cos x dx=−x cos x+sin x+C。微分的 −cos x 和 +cos x 互消，留下 x sin x。

Q06

取 u=x²、v=e^x，第一次分部積分給 [x²e^x]_0^1−2∫_0^1 x e^x dx。例題3算出後一個積分為1，故結果是 e−2。也可用原函數 e^x(x²−2x+2) 核對。

Q07

用 x ln x−x；在2為 2ln2−2，在1為−1，故答案 2ln2−1。

Q08

sin(3x)/3+C。微分乘回3，得到 cos(3x)。

Q09

u=x²+4>0，du=2x dx，故積分 (1/2)ln(x²+4)+C。真數總為正，不必分段。

Q10

u 由1到2，x=u−1，積分 [u⁵/5−u⁴/4]_1^2=49/20。展開原式成 x+3x²+3x³+x⁴，積分 1/2+1+3/4+1/5 也為 49/20。