第5章 常見積分與瑕積分

5.1 先截成合法區間，再取極限

若 f 在每個有限區間 1 到 R 上連續，∫_1^∞ f(x) dx 的意思是 lim（R→∞）∫_1^R f(x) dx。只有這個極限是有限實數，才稱收斂。若 0 是奇異端點，先要求每個 0<ε<1 的截斷積分 ∫_ε^1 f 存在，再用 lim（ε→0⁺）∫_ε^1 f 定義 ∫_0^1 f。極限為有限實數時，瑕積分收斂。

內部奇異點 c 必須拆為左右兩個極限，兩者分別有限才可相加。兩個無窮端點也是如此，不能讓正、負發散依某個同步速度互相抵消。

若 f、g 在每個截斷區間可積，且在尾段有 0≤f≤g，g 的尾積分收斂便可推出 f 的尾積分收斂。f 的截斷積分隨 R 不減，並以同一尾段上 g 的積分為上界。這是非負比較，不是看到 f→0 就能斷定面積有限。

5.2 四個例題

例題1 冪次衰減可以有有限尾量

∫_1^R 1/x² dx=[−1/x]_1^R=1−1/R，故 ∫_1^∞ 1/x² dx=1。從 R 往後尚未計入的量恰為1/R。函數到無窮遠仍為正，卻不妨礙尾面積越來越小。

例題2 端點高度無界，面積仍可有限

∫_ε^1 1/√x dx=2−2√ε，所以 ∫_0^1 1/√x dx=2。沒畫出的左端面積為 2√ε。ε=1/16 時，這段是1/2，不能以「很窄」就直接忽略。

例題3 對稱抵消不等於瑕積分收斂

考察 ∫_(−1)^1 1/x dx。左積分到 −ε 為 ln ε，往 −∞；右積分從 ε 起為 −ln ε，往 +∞。左右都不有限，所以通常的瑕積分發散。若用同一個 ε 同時截兩邊，和恆為0；那是另行定義的對稱主值，不能替代原問題。

例題4 指數尾巴也能精確估界

∫_0^R e^(−2x) dx=(1−e^(−2R))/2，R→∞ 得1/2。截斷誤差是 e^(−2R)/2。把 R 加倍會改變指數，而不是把誤差簡單減半。

5.3 用冪次先檢查端點

對 x>0 的 x^(−p)，p≠1 時原函數是 x^(1−p)/(1−p)。從1走向 ∞，只有 p>1 使遠端項趨零；p=1 時 ln R 發散。從0⁺ 到1，則 p<1 才使近零項趨零；p=1 時同樣出現對數發散。兩個端點用的是相反方向的極限，不能套同一句 p 判別。

5.4 練習

1. B07-C05-Q01 求 ∫_1^∞ 1/x³ dx。
2. B07-C05-Q02 ∫_1^∞ 1/x dx 收斂嗎？
3. B07-C05-Q03 求 ∫_0^1 x^(−2/3) dx。
4. B07-C05-Q04 判斷 ∫_0^1 x^(−3/2) dx。
5. B07-C05-Q05 求 ∫_2^∞ 4/x² dx，並寫從 R≥2 以後的尾量。
6. B07-C05-Q06 不求精確值，用比較判斷 ∫_1^∞ 1/(x³+x) dx。
7. B07-C05-Q07 求 ∫_0^2 1/√|x−1| dx，標示分點。
8. B07-C05-Q08 ∫_(−1)^1 1/x² dx 能靠對稱得到有限值嗎？
9. B07-C05-Q09 判斷 ∫_0^∞ sin x dx，不能只看某一列上限。
10. B07-C05-Q10 ∫_0^∞ e^(−x) dx 要使截斷誤差不超過 1/100，R 至少要多少？

5.5 完整解答

Q01

先算 ∫_1^R x⁻³ dx=(1−R⁻²)/2，再令 R→∞ 得1/2。

Q02

截斷積分為 ln R−ln1=ln R，無上界，故沒有有限值。

Q03

原函數 3x^(1/3)。截去近零段後為 3−3ε^(1/3)，趨近3。

Q04

∫_ε^1 x^(−3/2) dx=2/√ε−2，ε→0⁺ 時趨 +∞，故發散。

Q05

∫_2^R 4/x² dx=2−4/R，總量2。再往後的尾量為4/R。

Q06

x≥1 時 0<1/(x³+x)≤1/x³。後者尾積分為1/2，故前者收斂，值不超過1/2。

Q07

在 x=1 分開。左側換 u=1−x、右側換 u=x−1，都化成 ∫_0^1 u^(−1/2) du=2。兩側各收斂，和為4。

Q08

不能。右側截斷為 1/ε−1→+∞，左側同樣發散。被積函數非負，對稱只會相加。

Q09

截斷積分是 1−cos R。R=2kπ 得0，R=(2k+1)π 得2，無共同極限，故發散。

Q10

尾量 ∫_R^∞ e^(−x) dx=e^(−R)。解 e^(−R)≤1/100 得 R≥ln100。這只控制截斷，不包含有限段的數值近似誤差。