第6章積分的應用

本章小節

6.1 先看量的方向與單位
6.2 四個例題
6.3 練習
6.4 完整解答

6.1 先看量的方向與單位

取順向區間 [a,b]，其中 a<b。有向積分讓負高度扣除累積。曲線與水平軸間的總面積是 ∫_a^b |f(x)| dx。兩曲線間的面積先找交點，再在各段用上方函數減下方函數，不是永遠把題目第一個式子減第二個。

若 f 是速度，∫f 是位移，∫|f| 是路程。若 f 是流入淨率，∫f 是量的變動，仍要加初始量才得最後存量。平均值則將累積量除以區間長 b−a，回到原來的單位。對連續 f，最小值與最大值夾住平均值，再由介值定理得某點取到平均值。

6.2 四個例題

例題1 有向面積與總面積

f=x−1，在 0 到3。從0到1的有向積分是 −1/2；從1到3為2。全段有向積分 −1/2+2=3/2；幾何面積是 1/2+2=5/2。分點來自 f=0，而不是任選一個方便計算的點。

例題2 上減下要先驗證順序

y=x 與 y=x² 在0、1相交。在 0<x<1，x≥x²。面積 ∫_0^1 (x−x²) dx=1/2−1/3=1/6。若沒有先查順序，直接求帶負號的差會錯把有向量當面積。

例題3 平均值不是中點值

f=x² 在 0 到3，積分為9，平均值為 9/3=3。x=√3 時函數值等於平均值；中點 x=3/2 的值是9/4，並不相等。

例題4 切片半徑與面積分開

把 0≤x≤2、0≤y≤x 的三角區域繞 x 軸一圈。垂直切片是半徑 x 的圓盤，面積 S(x)=πx²。每小段的體積介於用兩端半徑做出的圓柱體積；細分後，兩個圓柱和都趨近 ∫_0^2 πx² dx=8π/3。半徑 x 本身不是切片面積。

6.3 練習

B07-C06-Q01 求 y=x 在 −2 到1 的有向積分及與軸之間的總面積。
B07-C06-Q02 求 y=4−x² 與水平軸圍出的面積。
B07-C06-Q03 求 y=2x、y=x² 在 0 到2 圍出的面積。
B07-C06-Q04 求 2t+1 在 0 到4 的平均值。
B07-C06-Q05 v(t)=2t−4 公尺／秒，0≤t≤3。求位移與路程。
B07-C06-Q06 物槽初有7公升，淨流率 5−t 公升／分鐘，從0到2分鐘。最後有多少？
B07-C06-Q07 求 y=x、y=x³ 在 −1 到1 的總面積。
B07-C06-Q08 圓盤切片的半徑為 √x，0≤x≤4。求體積。
B07-C06-Q09 在長3的區間，連續切片面積 S 滿足 1≤S≤4。給體積界。
B07-C06-Q10 求 x² 在 1 到2 的平均值，找一個等於平均值的位置。

6.4 完整解答

Q01

左段 ∫_(−2)^0 x=−2，右段 ∫_0^1 x=1/2。有向量 −3/2；幾何面積 2+1/2=5/2。

Q02

交點為 x=±2，區間內高度非負。面積 [4x−x³/3]_(−2)^2=32/3。

Q03

2x−x²=x(2−x)≥0。積分 [x²−x³/3]_0^2=4/3。

Q04

累積 [t²+t]_0^4=20，除以長4得5。

Q05

位置變化可用 t²−4t 的差計算。0到2的位移 −4，2到3的位移1；總位移 −3公尺，路程 4+1=5公尺。

Q06

累積流入 [5t−t²/2]_0^2=8公升。加原來7公升，最後15公升。

Q07

差 x−x³ 在正半段非負，負半段非正。兩段絕對面積對稱，總量 2∫_0^1 (x−x³) dx=2(1/2−1/4)=1/2。

Q08

面積 S=π(√x)²=πx；積分 [πx²/2]_0^4=8π。單位是立方單位。

Q09

用常數界取積分：1·3≤V≤4·3，得 3≤V≤12。只知上下界，不會決定精確體積。

Q10

積分為 (8−1)/3=7/3，長度1，所以平均值也是7/3。c=√(7/3) 在 1 到2 之間，且 c²=7/3。

第6章 積分的應用