第7章無窮級數

本章小節

7.1 先有有限部分和，才談無窮和
7.2 四個例題
7.3 練習
7.4 完整解答

7.1 先有有限部分和，才談無窮和

從 n=1 開始，將前 N 項加起來記作 S_N=Σ_(n=1)^N aₙ。若 S_N 收斂到有限實數 S，才定 Σ_(n=1)^∞ aₙ=S。這不是在「最後一項 n=∞」做加法，而是第六冊的數列極限套在部分和上。

對 n≥2，aₙ=S_n−S_(n−1)。若 S_n→S，兩項差趨近0，所以收斂必須 aₙ→0。反過來不一定成立。對收斂級數，截到第 N 項的尾誤差是 R_N=S−S_N；未證收斂前，不能先假定存在有限的 S 再把它拿來相減。

7.2 四個例題

例題1 幾何和先算有限式

取 aₙ=2^(−n)。將有限和 S_N 乘2再相減，得到 2S_N−S_N=1−2^(−N)。故 S_N→1，尾量恰為 2^(−N)。

一般若首項 a、比率 r≠1，S_N=a(1−r^N)/(1−r)。|r|<1 時 r^N→0，所以總和 a/(1−r)。這個分式來自有限等式與合法的極限，不能在 |r|≥1 時照搬。

例題2 望遠鏡相消留下兩端

1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)。從1到 N 相加，中間項成對消去，S_N=1−1/(N+1)。故總和1，剩餘量 1/(N+1)。要先寫有限的相消；不能直接把兩個發散調和級數各自當成有限值相減。

例題3 部分和有界，也可能不收斂

1−1+1−1+⋯ 的部分和，奇數下標為1、偶數下標為0。它們都有界，卻沒有共同極限；項本身也不趨近0。指定某種平均方式得到的數，不是這裡定義的級數和。

例題4 項趨近0仍可累積到無上界

調和級數 Σ 1/n 中，每項都趨近0。將第 2^(k−1)+1 項到第 2^k 項分一組，共 2^(k−1) 項，每項至少 1/2^k，組和至少1/2。取越多完整組，部分和就越大而無上界，因此級數發散。單項變小並未保證總和有限。

7.3 練習

B07-C07-Q01 求首項3、公比1/4 的無窮幾何級數和。
B07-C07-Q02 求 1−1/2+1/4−⋯ 的和，說明為何可用公式。
B07-C07-Q03 求 Σ_(n=1)^∞ 1/[(n+1)(n+2)]。
B07-C07-Q04 求 Σ_(n=1)^∞ 1/[n(n+2)]，保留相消後的尾端。
B07-C07-Q05 Σ_(n=1)^∞ n/(n+1) 有有限和嗎？
B07-C07-Q06 對 Σ 2^(−n)，尾量不超過1/64 時最少留幾項？
B07-C07-Q07 對例題2，尾量嚴格小於1/100 時最少留幾項？
B07-C07-Q08 將例題1的第一項由1/2改為5，其餘不變。新和是多少？
B07-C07-Q09 已知 S_N=2−1/(N+1)，N≥1。求和、首項與 n≥2 的 aₙ。
B07-C07-Q10 每項相減得到 Σ(1−1)=0，是否等於兩個 Σ1 的和相減？

7.4 完整解答

Q01

|r|=1/4<1，總和 3/(1−1/4)=4。

Q02

a=1、r=−1/2，絕對值小於1，故 r^N→0。總和 1/(1+1/2)=2/3。

Q03

拆成 1/(n+1)−1/(n+2)。有限和為 1/2−1/(N+2)，極限1/2。

Q04

拆成 (1/2)(1/n−1/(n+2))。有限和為 (1/2)[1+1/2−1/(N+1)−1/(N+2)]，尾兩項趨零，得3/4。

Q05

n/(n+1)→1，不趨零，違反收斂必要條件，故發散。

Q06

2^(−N)≤1/64=2⁻⁶，等價於 N≥6。最少6項，等號合格。

Q07

1/(N+1)<1/100 需要 N+1>100，所以最少 N=100。N=99 只達等號。

Q08

對所有 N≥1，部分和都增加 5−1/2=9/2。新極限 1+9/2=11/2。

Q09

極限為2，a₁=S₁=3/2。n≥2 時 aₙ=S_n−S_(n−1)=1/n−1/(n+1)。

Q10

不是。每一個有限 N 都可相減而得到0，所以項差級數收斂。兩個 Σ1 各自沒有有限值，不能先取兩個和再相減。

第7章 無窮級數