第8章 收斂判別
8.1 比較的是尾段，不是幾個樣本
若從某項起 0≤aₙ≤bₙ，且 Σ bₙ 收斂，則 a 的尾部分和不減且有上界，故收斂。若 0≤bₙ≤aₙ 且 Σ bₙ 發散到正無窮，則 Σ aₙ 也發散。比值若 aₙ/bₙ→L、0<L<∞，且 bₙ 最終為正，則在尾段 L/2≤aₙ/bₙ≤2L，可用兩向比較證同收斂或同發散。
若 f 在後段非負不增且 aₙ=f(n)，在任一有限截斷段取等分。上、下和的差等於網格長度乘兩端高度差，故各段可積。取位於此尾段的整數 N，對任一整數 M>N，從 f(n+1)≤∫_n^(n+1) f(x) dx≤f(n) 得 Σ_(n=N+1)^M f(n)≤∫_N^M f(x) dx≤Σ_(n=N)^(M−1) f(n)。
非負性使部分和與截斷積分不減，而任一實數截斷點可由相鄰整數夾住。上式使級數與相應的瑕積分同收斂或同發散。收斂時令 M→∞，得從第 N+1 項起的尾量不超過 ∫_N^∞ f。第5章的冪積分給出 p>1 時 Σ 1/n^p 收斂，0<p≤1 時發散。p≤0 時項不趨零。
8.2 比值、絕對值與交錯
若 aₙ 最終非零，且 |aₙ₊₁/aₙ|→L<1，取 L<q<1。從足夠晚開始，相鄰絕對值比不超過 q，故尾項由一個收斂幾何級數控制。若 L>1，則比值最終大於某個 q>1，項不趨零。L=1 不提供結論。
Σ|aₙ| 收斂稱絕對收斂。正、負部分的大小皆不超過 |aₙ|，由比較知各自可加，再相減，所以原級數收斂。原級數收斂但絕對值級數發散，稱條件收斂。
對 aₙ=(−1)^(n−1)bₙ，若 bₙ≥0、單調不增且 bₙ→0，偶部分和不減，奇部分和不增，且相鄰兩和差是某個 bₙ→0。兩列互相夾住並趨向同一 S；S 介於 S_N 與 S_(N+1)，故 |R_N|≤b_(N+1)。交錯只是符號，單調與趨零兩條也要查。
8.3 四個例題
例題1 用容易估尾的平方倒數級數比較
Σ 1/(n²+3) 的項正且 ≤1/n²。因 Σ 1/n² 收斂，原級數收斂。從第 N+1 項起，尾量 ≤Σ_(n>N) 1/n²≤∫_N^∞ x⁻² dx=1/N。這是保守上界，不宣稱正好等於 1/N。
例題2 多項式乘指數，用相鄰比值
aₙ=n/3^n。比值 (n+1)/(3n)→1/3<1，所以收斂。證明只用後段幾何控制，沒有把 n 當成固定常數提出級數。
例題3 交錯可收斂，但絕對值不收斂
Σ (−1)^(n−1)/n 的 bₙ=1/n 單調下降且趨0，所以收斂，尾誤差不超過 1/(N+1)。取絕對值則是調和級數，發散，因此屬條件收斂。
例題4 比值極限為1要換方法
對 1/n 和 1/n²，相鄰比值分別是 n/(n+1)、n²/(n+1)²，都趨近1。但調和級數發散、平方倒數級數收斂，結論不能從比值1判定。
8.4 練習
- B07-C08-Q01 判斷 Σ 1/(n³+1)。
- B07-C08-Q02 判斷 Σ 1/(2n+1)，選擇正確的比較方向。
- B07-C08-Q03 用比值判斷 Σ n²/2^n。
- B07-C08-Q04 用比值判斷 Σ 2^n/n²。
- B07-C08-Q05 Σ (−1)^n/n² 是絕對、條件收斂還是發散？
- B07-C08-Q06 判斷 Σ (−1)^n/√n 的收斂種類。
- B07-C08-Q07 交錯調和級數要使誤差上界不超過1/20，依交錯界可取幾項？
- B07-C08-Q08 用尾積分給 Σ 1/n² 的截斷量上界；要保證不超過1/50 可取哪個 N？
- B07-C08-Q09 用極限比較判斷 Σ (n+1)/(n²+1)。
- B07-C08-Q10 a_(2k−1)=1/k、a_(2k)=−1/(2k)。項交錯且趨零，級數一定收斂嗎？
8.5 完整解答
Q01
0<1/(n³+1)≤1/n³，p=3>1，後者收斂，所以原級數收斂。
Q02
n≥1 時 2n+1≤3n，故 1/(2n+1)≥1/(3n)。較小的級數是調和級數的三分之一，仍發散，所以原式發散。
Q03
相鄰比值 (n+1)²/(2n²)→1/2<1，故收斂。
Q04
相鄰比值 2n²/(n+1)²→2>1，項不趨零，故發散。
Q05
取絕對值得 Σ 1/n²，這是 p=2>1 的冪倒數級數，由積分比較收斂，故原級數絕對收斂。
Q06
1/√n 單調下降且趨0，交錯級數收斂。絕對值級數 p=1/2≤1 發散，所以是條件收斂。
Q07
用 |R_N|≤1/(N+1)。要求 N+1≥20，取 N=19 即可；這是由該誤差界選出的項數。
Q08
尾和 ≤∫_N^∞ x⁻² dx=1/N。取 N=50 得界1/50，不宣稱這是實際誤差。
Q09
與 1/n 的比為 n(n+1)/(n²+1)→1，正且有限。由極限比較，兩者同發散。
Q10
不一定，這組就發散。每對和為 1/(2k)，所以偶部分和是半個調和級數，無上界。絕對項大小沒有一直下降，不能套交錯判別。