第9章 Taylor多項式與冪級數
9.1 多項式要配得上導數
設 f 在 a 附近有足夠階導數。n 階 Taylor 多項式是 P_n(x)=Σ_(k=0)^n [f^(k)(a)/k!](x−a)^k，其中第0階就是 f 本身，0!=1。展式的第0項直接是常數 f(a)，冪級數的第0項同樣按常數 c₀ 解讀。第 k 項微分 k 次後在 a 留下 k! 乘係數，其他階在同點不貢獻這一項，所以 P_n 的第0至 n 階導數在 a 都與 f 相同。這只決定一個多項式，還沒有給出誤差。
若 f 在包含 a 與 x 的區間有連續的 n+1 階導數，且 x≠a，則某個介於兩點間的 ξ 滿足：
R_n(x)=f(x)−P_n(x)=f^(n+1)(ξ)(x−a)^(n+1)/(n+1)!。
理由是令 K=R_n(x)/(x−a)^(n+1)，再取 g(t)=f(t)−P_n(t)−K(t−a)^(n+1)。g 在 a、x 都為0，且在 a 的第1至 n 階導數為0。反覆在兩個零點間用羅爾定理，每次保留 a 的下一階零值，得到 g^(n+1)(ξ)=0。整理即得公式。若整段 |f^(n+1)|≤M，則 |R_n|≤M|x−a|^(n+1)/(n+1)!；x=a 時誤差本來就是0。
9.2 四個例題
例題1 指數的有限近似
e^x 在0各階導數都為1，P₂=1+x+x²/2。x=0.1 時近似為1.105。0≤t≤0.1 上 e^t≤e^0.1≤10/9，最後一界由第六冊指數展式逐項小於等於幾何項而得。故誤差不超過 (10/9)(0.1)³/6=1/5400。
例題2 少一個非零項仍可用較高階的餘項
sin x 在0的 P₃=x−x³/6；四次係數也是0，所以 P₄=P₃。第五階導數 cos 的絕對值至多1，故 |sin x−P₃(x)|≤|x|⁵/120。x=0.2 時 P₃=149/750，誤差不超過1/375000。要用五次界，理由是已檢查四次項為零。
例題3 收斂半徑與端點各自檢查
Σ_(n=0)^∞ x^n 是幾何級數，|x|<1 收斂到 1/(1−x)，|x|>1 項不趨零，所以半徑1。x=1 時項為1；x=−1 時項交錯為 ±1，兩端都發散。
例題4 同一半徑，兩端可有不同結果
Σ_(n=1)^∞ x^n/n 在 x≠0 的絕對比值趨 |x|，所以 |x|<1 絕對收斂，|x|>1 發散。x=1 是調和級數，發散；x=−1 是交錯調和級數的相反數，條件收斂。半徑1 不告訴我們端點相等於哪個函數值。
9.3 三個不能混用的問題
冪級數 Σ cₙ(x−a)^n 若在距中心 ρ>0 的某點收斂，該點的項必有界；任 |x−a|<ρ，絕對項就被常數乘 (|x−a|/ρ)^n 所界。取絕對收斂距離的上確界為半徑 R，允許 R=0 或 ∞。距中心小於 R 時，可找距離更大的絕對收斂點，由上面的比較得絕對收斂。若距中心大於 R 的點能收斂，取介於 R 與該點距離之間的距離，便會得到超過 R 的絕對收斂點，與上確界矛盾。當 0<R<∞，距離等於 R 的兩個端點另查。R=0 時只收斂於中心，R=∞ 時每個實數點都在內部。係數後段非零且 |cₙ₊₁/cₙ|→q 時，0<q<∞ 給 R=1/q；q=0 給 ∞，q=∞ 給0。比值在某些係數為零時不一定可直接使用。
第一問是級數在哪裡收斂。第二問是若它來自 f 的 Taylor 係數，收斂值是否等於 f；需要 R_n(x)→0。以 e^x 為例，固定 x 時餘項被 e^max(0,x)|x|^(n+1)/(n+1)! 所界，階乘使這個界趨零，因此確實等於原函數。第三問是能否逐項積分或微分，要另查下一章的區間條件。
9.4 練習
- B07-C09-Q01 求 cos x 在0的二階 Taylor 多項式。
- B07-C09-Q02 求 e^x 在 a=1 的三階 Taylor 多項式。
- B07-C09-Q03 求 ln(1+x) 在0的二階 Taylor 多項式，寫原函數論域。
- B07-C09-Q04 用 cos x 的二階多項式近似 cos0.3，給一個四次誤差界。
- B07-C09-Q05 求 Σ_(n=0)^∞ [(x−2)/3]^n 的中心、半徑與兩端狀態。
- B07-C09-Q06 判斷 Σ_(n=1)^∞ n x^n 的半徑與端點。
- B07-C09-Q07 判斷 Σ_(n=1)^∞ x^n/n² 的半徑與端點。
- B07-C09-Q08 判斷 Σ_(n=1)^∞ n! x^n 的半徑。
- B07-C09-Q09 用比值判斷 Σ_(n=0)^∞ x^n/n! 在哪些實數 x 收斂。
- B07-C09-Q10 二階 Taylor 多項式相同，是否兩函數在 x=1 必同值？給反例。
9.5 完整解答
Q01
在0，值1、一階導數0、二階導數−1，故 P₂=1−x²/2。
Q02
在1各階導數都是 e，所以 P₃=e[1+(x−1)+(x−1)²/2+(x−1)³/6]。
Q03
x>−1。f(0)=0、f′(0)=1、f″(0)=−1，所以 P₂=x−x²/2。
Q04
P₂(0.3)=1−0.09/2=0.955。三次項為0，可當 P₃ 使用；四階導數是 cos，絕對值≤1。誤差≤(0.3)⁴/24=0.0003375。
Q05
中心2，要求 |x−2|/3<1，半徑3。兩端 −1、5 的公比分別 −1、1，項不趨零，均發散。
Q06
x≠0 時相鄰比值趨 |x|，半徑1；x=±1 的項大小為 n，不趨零，均發散。
Q07
比值仍趨 |x|，半徑1。x=±1 的絕對值級數是 Σ 1/n²，兩端都絕對收斂。
Q08
x≠0 時比值為 (n+1)|x|→∞，故發散。x=0 時各項0，半徑0。
Q09
固定 x≠0，絕對比值 |x|/(n+1)→0，所以收斂；x=0 時除常數項外皆0。半徑∞。要辨認和等於 e^x，還可用上文的餘項界。
Q10
f(x)=x³ 與 g(x)=0 在0的值、一階、二階導數都為0，二階多項式相同；但 f(1)=1、g(1)=0。有限導數資訊不能決定全域值。