第10章積分、級數與精度

本章小節

10.1 有限恆等式先給可檢查的誤差
10.2 交換次序要看整段誤差
10.3 四個例題
10.4 練習
10.5 完整解答
10.6 本冊回看

10.1 有限恆等式先給可檢查的誤差

假設 |t|<1。前 N 項幾何和的有限恆等式是 1/(1−t)=Σ_(k=0)^(N−1) t^k+t^N/(1−t)。在 |x|≤r<1，從0到 x 積分，餘項大小至多 ∫_0^|x| u^N/(1−r) du，因此：

−ln(1−x)=Σ_(n=1)^N x^n/n+R_N(x)，|R_N(x)|≤|x|^(N+1)/[(N+1)(1−r)]。

這個推導只積有限和，再估最後一項。它同時證明內部級數與原函數相等，卻沒有用這條界推出 x=±1 的情況。

10.2 交換次序要看整段誤差

若在有限閉區間，連續的 S_N 對 f 一致收斂，也就是整段絕對誤差的上確界趨零，則 f 連續。理由是先讓 f 與同一個 S_N 在整段夠近，再用該 S_N 的連續性控制兩點差。並且 |∫f−∫S_N|≤區間長乘絕對誤差的上確界，所以積分可和極限交換。每點各自選不同 N，不能直接給這條整段界。

對半徑 R>0 的冪級數，取 0<r<ρ<R，考慮 |x−a|≤r。Σ|cₙ|ρ^n 收斂，所以原級數尾端在整段都被同一個數值尾和控制。導數項也可控制，因 n r^(n−1)/ρ^n 的相鄰比值 (n+1)r/(nρ) 趨近 r/ρ<1，故這串數有共同上界 C。導數的絕對尾和於整段不超過 CΣ_(n>N)|cₙ|ρ^n，因而一致趨零。

令 D 為導數級數的和，由一致收斂知 D 連續。每個有限部分和都滿足 S_N(x)=c₀+∫_a^x S_N′。交換積分與極限後，原和是 c₀+∫_a^x D，再由基本定理知其導數為 D。任一冪級數內點都可放進這種閉區間的內部。端點與無窮區間各有自己的交換條件。

10.3 四個例題

例題1 給近似值也給誤差

取 x=r=1/2，N=5。−ln(1−x)=ln2；前五項相加為661/960。上式給誤差 ≤(1/2)⁶/[6(1/2)]=1/192。若需求更精確，增加 N 再驗上界，不必把取樣相等當證明。

例題2 端點不便交換，改用有限餘項

求 ∫_0^1 1/(1+x²) dx。令 x=tan θ，θ 從0到 π/4；dx=dθ/cos²θ，恰與分母抵消，所以精確值 π/4。

若改用前 N 項 1−x²+x⁴−⋯，有限餘項是 (−x²)^N/(1+x²)。即使 x=1，有限等式仍成立，誤差大小≤x^(2N)，積分誤差≤1/(2N+1)。不能先以 |x|<1 的無窮幾何和，把端點一併當成已證收斂。

例題3 冪級數內部可逐項微分

|x|<1 時 Σ_(n=0)^∞ x^n=1/(1−x)。在任一較小閉區間可用上節的導數尾界，故 Σ_(n=1)^∞ n x^(n−1)=1/(1−x)²。端點 x=1 時導數項不趨零，不能延伸這條逐項結論。

例題4 積分多項式近似也要估餘項

e^x 在 0 到1 用 P₂=1+x+x²/2，積分得5/3。第三階導數在整段 ≤e，Taylor 餘項 ≤e x³/6；再積分得總誤差≤e/24。精確值 e−1 是另一種核對。比較方法時要看誤差上界，不是只數用了幾項。

10.4 練習

B07-C10-Q01 用前兩項近似 −ln(1−1/4)，取 r=1/4 並估界。
B07-C10-Q02 對 x=−1/2，取 r=1/2、N=3，算對數近似與誤差界。
B07-C10-Q03 用例題2的前四項積分近似 π/4，算近似值和保守上界。
B07-C10-Q04 例題2的積分誤差要不超過1/100，依 1/(2N+1) 界至少需幾項？
B07-C10-Q05 用逐項積分求 Σ_(n=0)^∞ (1/2)^(n+1)/(n+1)，寫出合法區間。
B07-C10-Q06 求 Σ_(n=1)^∞ n(1/4)^(n−1)。
B07-C10-Q07 F_N(x)=sin(Nx)/N 一致趨零，能否由此推出導數趨於零函數的導數？
B07-C10-Q08 有限段近似誤差≤0.002、尾部截斷誤差≤0.005，總誤差至多多少？
B07-C10-Q09 ∫_1^∞ 1/x² dx 從 R 截斷，要使尾量嚴格小於0.02，如何選 R？
B07-C10-Q10 g_N 在 0 到 N 取 1/N，其餘非負 x 取0。它一致趨零；無窮積分能否直接交換極限？

10.5 完整解答

Q01

前兩項 1/4+1/32=9/32。界 (1/4)³/[3(1−1/4)]=1/144。

Q02

前三項 −1/2+1/8−1/24=−5/12。界 (1/2)⁴/[4(1−1/2)]=1/32；有向積分的負方向不改絕對誤差界。

Q03

積分 1−1/3+1/5−1/7=76/105。N=4 的餘項界為1/9；這是上界，不是實際誤差。

Q04

1/(2N+1)≤1/100 需要 2N+1≥100，最小整數 N=50。此處只依所給界保證精度。

Q05

在 0≤x≤1/2，幾何尾端由公比1/2 的正級數一致控制。積分和為 ∫_0^(1/2) 1/(1−x) dx=ln2。逐項積分正好給題目的級數。

Q06

x=1/4 在半徑1內，代例題3的導數和得 1/(1−1/4)²=16/9。

Q07

不能。|F_N|≤1/N 一致趨零，但 F_N′(0)=cos0=1，並不趨近零函數在0的導數0。一致收斂原函數不足以交換導數。

Q08

由三角不等式，總誤差至多 0.002+0.005=0.007。兩項可能相抵，但不能在無額外資訊時先假定相抵。

Q09

尾量是1/R，要求 1/R<0.02 即 R>50，例如取51。R=50 恰等於門檻，不合題意。

Q10

不能。對所有 x≥0 有 |g_N|≤1/N，確實一致趨零；但各積分是 N·(1/N)=1，零函數的積分卻是0。有限區間的長度乘誤差界不能搬到無窮長區間。

10.6 本冊回看

分割讓面積與累積量有定義，基本定理把累積和導數接起來；瑕積分、無窮和與近似都要說清楚取哪個極限。遇到交換運算時，先指出共同誤差界及其適用範圍。這比算出一個漂亮數字更能說明答案何時可靠。

第10章 積分、級數與精度