概念導讀
點、線、面：在座標模型中判定點是否在直線上
在座標平面模型 ℝ² 中，設 P=(1,2)、Q=(3,6)。判定 R=(4,8) 與 S=(2,5) 是否在通過 P、Q 的直線 L 上，並據此判定 P、Q、R 是否共線。
OCME · 中英數學知識與推導
概念推導導讀
299 份概念教學導讀；另有 36,000 題逐題詳解，兩者分開查找。
概念導讀
角：對頂角相等的逐步證明
直線 AB 與直線 CD 是兩條相異直線，相交於 O，且 O 在 A、B 之間，也在 C、D 之間。證明對頂角相等：m∠AOC=m∠BOD 且 m∠COB=m∠DOA；再以 m∠AOC=35° 為例算出四個角。
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三角形：在座標模型中確認三點界定非退化三角形
在座標平面模型 ℝ² 中，設 A=(0,0)、B=(4,0)、C=(1,3)。確認 A、B、C 兩兩相異且不共線，因而依 MKO 界定非退化三角形 ABC；寫出三條邊與各頂點的對邊，並說明三頂點的平均點 G=(5/3,1) 不在三角形 ABC 上。另設 D=(2,1)、E=(6,3)，說明相異三點 A、D、E 共線，不界定非退化三角形。
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直角三角形：用座標判定哪一個內角是直角
在座標平面模型 ℝ² 中，設 A=(1,1)、B=(5,3)、C=(0,3)。證明 A、B、C 構成非退化三角形，且其在 A 的內角等於 90°（即 π/2），所以 ABC 是直角三角形；說明另外兩角不是直角、任何非退化三角形至多一個直角，並指出斜邊與兩股。再以 D=(1,4) 說明三角形 ABD 不是直角三角形。
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歐幾里得長度：由座標精確計算兩點距離
在以 ℝ² 表示的歐幾里得平面中，設 P=(1,−2)、Q=(4,2)、R=(2,3)。精確算出 d(P,Q)=5；算出 d(P,R)=√26，並以平方比較證明 5.09<√26<5.1，說明 5.1 只是近似值。另對一般的實數坐標證明：距離有定義且非負、d(Q,P)=d(P,Q)、d(P,P)=0，以及 d(P,Q)=0 ⇔ P=Q。
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畢達哥拉斯定理：在座標模型中以內積證明
在以 ℝ² 表示的歐幾里得平面中（距離為歐幾里得長度），證明：對任何直角三角形 ABC，若直角在 C，兩股長 a=d(C,B)、b=d(C,A)，斜邊長 c=d(B,A)，則 a²+b²=c²。再以 C=(1,2)、B=(4,6)、A=(−7,8) 驗算（25+100=125），並以非直角三角形 E=(0,0)、F=(4,0)、H=(1,2) 說明沒有直角時關係一般不成立。
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自然數：以最小歸納集判定成員，並分辨數與數字符號
依 OCME 慣例（0∈N），把 MKO 的「0 以及由 0 經有限次後繼所得的數」讀成「實數中包含 0 且對 x↦x+1 封閉的最小集合」。據此證明 0∈N、3∈N；說明二進位符號「11」與十進位符號「3」表示同一個自然數；證明 −1∉N 與 1/2∉N；並與「自然數從 1 開始」的慣例 N⁺=N∖{0} 比較最小元素。
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整數：判定成員、負號的意義與對負號的封閉性
在實數中，取 Z={0}∪N⁺∪{−n ∣ n∈N⁺}（N 依 OCME 慣例含 0，N⁺=N∖{0}，−n 是 n 的加法反元素）。證明 −7∈Z；說明十進位符號「3.0」表示整數 3；證明 −2.5∉Z；由加法反元素的唯一性證明 −(−a)=a，特別是 −(−4)=4；對所有 z∈Z 證明 −z∈Z；並以 5−8=5+(−8)=−3 分辨二元減法與一元負號。
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有理數：同一個有理數的不同分數表示、交叉相乘與約分
依 MKO 的定義（存在整數 p、q，q≠0，使 x=p/q），證明 6/(−8)、−3/4、9/(−12) 表示同一個有理數，並把 6/(−8) 精確約成正規形式 −3/4；以交叉相乘證明 2/3≠3/5；說明「5/0」不表示任何數；說明有限小數 −1.25=−5/4 與整數 7=7/1 都是有理數；並在分母為正時用交叉相乘證明 −3/4<−2/3。
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實數：在 Cauchy 完備化中證明「循環的 9」與有理數 1 是同一個實數
在以有理數 Cauchy 序列的等價類建構的實數中（有理數 q 嵌入為常數列的類 ι(q)），令 a_n=1−10^{−n}（n≥1），即有限小數 0.9、0.99、0.999 等。證明 (a_n) 是 Cauchy 序列，且與常數列 1 等價，所以 [(a_n)]=ι(1)；證明 ι 是單射，因此有限小數 0.999=999/1000 所表示的實數不等於 1；並說明有限小數 0.375=3/8 是有理數，在 ℝ 中就是 ι(3/8)。
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四則運算：同一組輸入在 ℕ、ℤ、ℚ 中是否有定義
取 a=3、b=5。在 ℕ（含 0）、ℤ、ℚ 三個數系中，判定 a+b、a·b、a−b、a÷b 是否有定義；有定義時求出結果，並判定結果屬於哪些數系。再判定 3÷0 與 0÷0 在這三個數系中是否有定義。
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變數與代數式：式子的值由取值、作用域與數系共同決定
設 E=x+1、F=(x+1)÷2、H=Σ_{x=1}^{3}(x+1)。(1) 在 ℤ 中求 E 在 x=2 與 x=5 的值，並證明 E 沒有與 x 無關的固定值；(2) 求 F 在 x=4 時於 ℚ 與 ℤ 中的值；(3) 在外部指定 x=5 時求 H；(4) 判定 (x+1)+x 與 2x+1、x·x 與 2x 在 ℤ 上是否等價；(5) 區分表達式 x+1 與方程 x+1=3，並求方程在 ℤ 中的解集。
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方程式：在定義域內解 x²/(x−1)=1/(x−1)
在允許範圍 ℝ 中，求方程 x²/(x−1)=1/(x−1) 的解集；並說明為什麼兩邊乘以 x−1 後得到的方程 x²=1 有兩個解，而原方程只有一個。
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集合：由元素刻畫、外延相等，以及不受限制的建構為何失敗
在論域 ℤ 中，設 A={x∈ℤ ∣ x²=4}、B={−2,2}、C={2,−2,2}、D={2}。證明 A=B 與 C=B；證明 D≠B，並區分元素 2 與集合 {2}。最後證明：在任何帶有隸屬關係的論域 U 中，都不存在 R∈U 使「y∈R ⇔ y∉y」對所有 y∈U 成立，因此不是每個條件都能形成集合。
概念導讀
命題：判定候選語句是否為命題，並區分「是命題」與「已證明為真」
在入門古典語境中，逐一判定下列候選是否為命題；是命題者再判定真假並給出理由：s1「7 是質數」；s2「4 是質數」；s3「7 是質數嗎？」；s4「計算 3+4。」；s5「x>0」（x 是未指定的整數變數），以及 s5 的封閉版本：代入 x=2 與 x=−1、加上 ∀x∈ℤ、加上 ∃x∈ℤ。
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邏輯連接詞：以整除命題檢驗 ∨、→、↔ 與括號
對整數 n，令 P(n) 為「4∣n」，Q(n) 為「2∣n」。(1) 判定「4∣12 ∨ 6∣12」的真假，說明析取是含括或；(2) 證明 ∀n∈ℤ (P(n)→Q(n))；(3) 證明 ∀n∈ℤ (Q(n)→P(n)) 為假，因而 ∀n∈ℤ (P(n)↔Q(n)) 為假；(4) 判定 P(3)→Q(3) 與「2+2=4 → 7 是奇數」的真假，說明蘊涵不是因果；(5) 比較 ¬Q(2)∧P(2) 與 ¬(Q(2)∧P(2)) 的真假。
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數學證明：證明 n²+n 恆為偶數，並以反例否定「n²+n+41 恆為質數」
(1) 在整數的指定語境中，由明示的前提與規則證明定理 T：對每個整數 n，2∣(n²+n)；再由 T 以反證法推出沒有整數 n 使 n²+n 為奇數。(2) 檢驗主張 C：「對每個自然數 n，n²+n+41 是質數」；說明 n=0 到 39 的 40 個正例為何不構成證明，並以 n=40 的反例否定 C。
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集合隸屬：x∈A 是命題，並與 ⊆、= 及程式的成員測試區分
在型別化語境中，設 A={1,2,3}、B={1,2}、𝓕={{1,2},{3}}（元素是整數集合的集合）、E={n∈ℤ ∣ 2∣n}。判定下列命題的真假並給出理由：2∈A；4∈A；B⊆A；A⊆B；B∈𝓕；{1}∈𝓕；1000000∈E；7∈E。並說明 1∈B 與 B∈𝓕 為何不給出 1∈𝓕，以及程式語言的成員測試為何不能取代集合隸屬的語義。
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子集合：以任意元素證明包含，並以反例否定包含
在論域 ℤ 中，令 A 為 6 的倍數之集、B 為偶數之集、C 為 4 的倍數之集。證明 A⊆B，且這個包含是嚴格的（A≠B）；證明 A⊄C，雖然 A 與 C 有共同元素 12；說明 B⊆B 成立（⊆ 允許相等）；並證明 {6}⊆A ⇔ 6∈A，同時分辨兩個語句的型別角色。
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集合運算：在明示全集中計算聯集、交集、差集與補集
全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={2,4,6,8}，B={3,4,5,6}。逐元素算出 A∪B、A∩B、A∖B、B∖A、U∖A、U∖B；說明 A∖B≠B∖A；說明全集換成 U′={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 時 A 的補集改變；對任意集合證明 U∖(A∪B)=(U∖A)∩(U∖B) 並以本例核對；再以 A∪B=A∪(B∖A) 說明聯集為何有 6 個元素而不是 8 個。
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樣本空間：擲兩次硬幣的兩種觀察尺度與不等可能的結果
隨機試驗：把一枚硬幣擲兩次。(1) 若依次記錄結果，寫出樣本空間 S，證明它包含所有可能基本結果且恰有 4 個元素；(2) 若只記錄正面次數，寫出樣本空間 S′={0,1,2}；(3) 在另外給定的機率模型 P（S 的每個有序結果機率 1/4）下，算出 S′ 各結果的機率 1/4、1/2、1/4，說明同一樣本空間中的結果不必等可能；(4) 以 S 上另一個合法的非均勻模型 Q 說明樣本空間本身不決定機率；(5) 分辨結果 (H,T) 與事件 {(H,T),(T,H)}。
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事件：在完整事件族與較粗事件族中判定事件
擲一顆骰子一次，S={1,2,3,4,5,6}。(1) 在有限初等模型 F=𝒫(S) 中，說明 E={2,4,6} 是事件，判定觀察結果為 4 與 3 時 E 是否發生；分辨結果 4 與事件 {4}；說明空事件與必然事件。(2) 在一般模型 (S,F₀) 中，F₀={∅,O,E,S}，O={1,3,5}：證明 F₀ 是 S 上的事件族（σ-代數），並證明 {6}∉F₀，所以雖然 S 有限且 {6}⊆S，{6} 在這個模型中不是事件。
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函數映射：判定對應是否為函數，並分辨陪域、值域與圖形
設 X={−2,−1,0,1,2}、Y={0,1,2,3,4,5}，f:X→Y，f(x)=x²。證明 f 是函數；算出值域 f(X)={0,1,4} 並說明 f(X)≠Y；寫出圖形 Γ_f；說明把陪域改成 {0,1,4} 會得到不同的函數。再判定兩個非例：反向規則 s(y)=「X 中滿足 x²=y 的 x」不是 Y→X 的函數；g(x)=x+4 不是 X→Y 的函數。
概念導讀
趨近關係：x→a 不是 x=a，也不保證函數值收斂
在 (ℝ, d(x,y)=|x−y|) 中：(1) 證明數列 x_n=1+1/n 趨近 1，而每一項都有 x_n≠1；(2) 對 g(x)=1（x>1）、g(x)=0（x≤1），證明沿 x_n 有 g(x_n)→1，但 lim_{x→1} g(x) 不存在。由此說明 x→1 本身既不要求 x 等於 1，也不決定函數值是否收斂。