概念導讀
基本計數原理：數字互異的三位偶數有幾個
計算 100 到 999 之間、三個數字兩兩相異的偶數共有幾個。要求：只把互斥的類別相加；每次相乘之前，先確認每個階段的可選數對所有先前選擇都相同，不同時先分支。
OCME · 中英數學知識與推導
概念推導導讀
299 份概念教學導讀；另有 36,000 題逐題詳解，兩者分開查找。
概念導讀
階乘：遞迴定義的唯一性、乘積形式與 5! 的計算
只用 F(0)=1 與 F(n+1)=(n+1)F(n)（n∈ℕ，ℕ 含 0）：(1) 證明滿足這兩條的函數 ℕ→ℕ 只有一個；(2) 證明對所有 n 有 F(n)=∏_{k=1}^{n} k（空乘積為 1），所以 n>0 時 n! 是從 1 到 n 所有整數的乘積；(3) 證明每個 F(n)≥1，特別是 0!=1≠0；(4) 由遞迴逐步算出 5!=120。
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絕對值：由分段定義證明非負性、零點與 |a−b|=|b−a|
只用分段定義（x≥0 時 |x|=x，x<0 時 |x|=−x）與實數的序和加法，證明對所有實數 x、a、b：(1) |x|≥0；(2) |x|=0 ⇔ x=0；(3) |−x|=|x|；(4) |a−b|=|b−a|。並計算 |−3|、|2−7|、|7−2|，說明「|x|=x 對所有 x 成立」是錯的。
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分數：判定等值、化為最簡正分母形式與分數加法
(1) 判定 (−6)/(−8) 與 9/12 是否表示同一個有理數；(2) 把 (−6)/(−8) 化成最簡、正分母的表示，並說明數值不變；(3) 計算 3/4+5/6，並說明「分子加分子、分母加分母」得到的 8/10 不是和；(4) 說明 3/0 不是合法的分數表示。
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比與比例：解 3:4=x:10、代回核對與檢查正比例資料
在有理數中：(1) 證明對 b≠0、d≠0，比例 a:b=x:d 恰有一個有理解 x=ad/b；(2) 用它解 3:4=x:10 並代回核對；(3) 說明 4:3=x:10 的解不同，比的順序有意義；(4) 判定資料 (2,5)、(4,10)、(6,15)、(8,21) 是否符合同一個正比例 y=kx。
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定義域、陪域與值域：有限表格與 h(x)=x²+1 的值域
(1) 設 A={−1,0,1,2}、B={0,1,2,3,4,5}、f(x)=x²+1：驗證 f:A→B 是總函數，求值域 f[A]，並說明 f[A]⊆B 但 f[A]≠B；(2) 說明輸出落在宣告陪域外或漏掉輸入的資料不是本條目的總函數；(3) 對 h:ℝ→ℝ、h(x)=x²+1，證明值域是 [1,∞)，不等於陪域 ℝ。
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函數合成：受限合成的允許輸入、求值順序與不交換
設 f:ℝ→ℝ，f(x)=x−3；g:[0,∞)→ℝ，g(u)=√u。(1) 求 g∘f 的允許輸入集合 D={x∈dom(f) ∣ f(x)∈dom(g)}，並證明 D=[3,∞)；(2) 依「先 f 後 g」計算 (g∘f)(7) 與 (g∘f)(4)，並說明 (g∘f)(1) 沒有定義；(3) 說明 f∘g 是 [0,∞) 上的總函數合成，並由 (f∘g)(4)=−1≠1=(g∘f)(4) 得到 g∘f≠f∘g；(4) 說明合成不是函數值的乘法。
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數列：由初始條件與遞迴確定通項，以及索引與有限前綴的陷阱
設實數數列 a:ℕ→ℝ（ℕ 含 0）滿足 a₀=5、a_{n+1}=a_n+3。(1) 證明恰有一個這樣的數列，且 a_n=5+3n；(2) 計算 a₀ 到 a₄ 與 a₁₀，說明 a₀ 是起始項、a₁₀ 是從 1 數起的第 11 個值；(3) 寫出長度 L=4 的有限數列及其索引集合；(4) 說明前綴 5、8、11 不能唯一決定數列。
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排列與組合：以計數證明 P(n,k)=n!/(n−k)! 與 C(n,k)=n!/(k!(n−k)!)
設 X 是恰有 n 個相異物件的集合，n、k 為自然數且 0≤k≤n，選取無放回、不重複。證明：從 X 有序選取 k 個的方法數 P(n,k)=n!/(n−k)!，無序選取 k 個的方法數 C(n,k)=n!/(k!(n−k)!)，且 k=0 時兩者都等於 1。最後以 X={a,b,c,d,e}、k=3 算出 P(5,3)=60 與 C(5,3)=10。
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座標平面：判定點在哪條軸或哪個象限，並比較有序對
在固定的平面直角座標系中，給定 A=(−3,2)、B=(2,−3)、B′=(6/3,−3)、C=(0,−4)、O=(0,0)、E=(−1/2,−5)。先證明兩軸只交於原點、每個點要嘛在軸上、要嘛恰在一個象限中；再逐點判定它所在的軸或象限，並判定 A 與 B、B 與 B′ 是否為同一點。
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自然數冪與主平方根：由遞迴算冪，並證明 √(a²)=|a|
只用遞迴定義 a^0=1、a^(n+1)=a^n·a 算出 (−2)^n（n=0,1,2,3,4）與 0^0、0^3；證明非負平方根的唯一性，並證明對每個實數 a，√(a²)=|a|；再求 √49、√((−5)²)、方程 y²=9 的實數解集，並說明 √(−4) 在實數中沒有定義。
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一元有理係數多項式：合併同次項、係數向量、次數與零多項式
在 ℚ[x] 中，設 p(x)=4x³+3x²−x+2−4x³+x，q 的係數向量為 [−1,1,0,0]，r(x)=x²−x²+3，z(x)=5x−5x，t(x)=5x。求 p、q、r 的係數與次數，判定 z 是零多項式並區分 z 與 r；以係數計算 p+q 與 p·q 並求次數；最後說明 p(1)=t(1) 不能推出 p=t。
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有理係數多項式因式分解：以係數比對驗證提公因子、二項式乘積與平方差
在 ℚ[x] 中：(一) 把 p(x)=3x²+3x−18 分解為 3(x+3)(x−2)；(二) 把 q(x)=2x²−50 分解為 2(x−5)(x+5)；每個分解都以展開並比對每個係數驗證。(三) 證明 x²+25≠(x−5)(x+5)，且 x²+25 不能寫成兩個一次因式的乘積。(四) 說明 x³ 與 x 在 x=−1,0,1 取值相同卻不是同一個多項式。
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仿射函數與一次函數：由兩點求 m、b，判定次數、零點與是否為線性映射
仿射函數 f:ℝ→ℝ，f(x)=mx+b 的圖形通過 (1,4) 與 (3,0)。求 m、b；判定 f 是否為次數一的函數、求它的零點，並判定 f 是否為線性代數意義下的 ℝ 線性映射。再證明兩個仿射函數在 ℝ 上相等當且僅當斜率與截距都相同，據此說明 f(2)=k(2)（k(x)=x）不能推出 f=k；最後處理 m=0 的兩個退化例子 g(x)=5 與 h(x)=0。
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實值函數圖形：成員判定與有限表格的總函數驗證
(一) 設 D=[0,2]、f:D→ℝ、f(x)=x²−1。先證明 (u,v)∈G_f ⇔ u∈D 且 v=f(u)，再判定 (1,0)、(−1,0)、(2,2)、(2,3) 是否在 G_f 上。(二) 設 D_0={0,1,2}、B={0,1,4}。證明一個集合 Γ 是某個總函數 D_0→B 的圖形，當且僅當 Γ⊆D_0×B 且每個輸入恰有一個輸出；據此判定 T={(0,0),(1,1),(2,4)} 是、而 T_1={(0,0),(2,4)}、T_2={(0,0),(1,1),(1,4),(2,4)}、T_3={(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)} 都不是。
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有限樣本空間上的機率：驗證權重模型、計算事件機率與補事件
S={1,2,3,4}，事件族為全冪集，權重 w_1=1/2、w_2=1/3、w_3=1/6、w_4=0。驗證這是合法的有限機率模型；由定義證明 P(∅)=0、P(S)=1、互斥可加與 P(S∖E)=1−P(E)；計算 P({1,3})，說明它不等於 |E|/|S|；說明 {4} 非空但機率為 0；並判定兩組候選權重 (1/2,1/3,1/3,0) 與 (1/2,2/3,−1/6,0) 都不合法。
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量詞與明示論域：在有限整數論域上判定全稱、存在及其否定
在明示有限論域 U={−2,−1,0,1,2,3} 上，判定 φ₁：∀x∈U, x²<10；φ₂：∀x∈U, x²>x；φ₃：∃x∈U, x²=2 的真假；正確寫出 φ₂ 與 φ₃ 的否定；並說明論域為空集合時全稱與存在陳述的真假。
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反例與論域資格：n²+n+11 的質數性、失敗集合與最小反例
設 U={n∈ℤ ∣ 0≤n≤12}、V={n∈ℤ ∣ 0≤n≤9}、m(n)=n²+n+11、P(n)：「m(n) 是質數」。判定 φ_U：∀n∈U P(n)；求失敗集合 F_U 與最小反例；判定候選值 −11 的資格；並判定 φ_V：∀n∈V P(n)。
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二元關係：定義域、關係像與逆關係的逐步計算
設 A={1,2,3,4}、B={2,3,4,5,6}、R={(1,2),(1,3),(3,3),(4,6)}、C={1,3}。核對 R⊆A×B；計算 Dom(R)、R[C]、R[∅]、R⁻¹ 與 Dom(R⁻¹)；判定 R 是否為函數 A→B、R⁻¹ 是否為函數 B→A。
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有限簡單無向圖：鄰居、度數與握手公式
設 V={1,2,3,4,5}，邊以端點對清單輸入：(1,2)、(2,1)、(2,3)、(3,4)、(2,4)、(4,2)，每一項表示一條無向邊。把輸入正規化為邊集合 E，求每個頂點的鄰居集合 N(v) 與度數 deg(v)，核對度數和等於 2|E|，並對每個有限簡單無向圖證明握手公式 Σ_{v∈V} deg(v)=2|E|。
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固定基底下的平面向量：逐分量運算、相等判定與減法方向
在固定標準基底下，設 u=(3,−1)、v=(−2,4)、w=(1,3)、k=−2。逐分量計算 u+v、u−v、v−u、ku、0u、2u+v；求滿足 u+x=v 的向量 x；核對 k(u+v)=ku+kv；並判定 u=w 與 u=(−1,3) 是否成立。
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二元聯立一次方程組：唯一解公式、兩列核對與 D=0 的一致性判定
(I) 解 2x+3y=7、x−y=1：證明 D=ae−bd≠0 時的唯一解公式，求解並代入兩列核對；(II) 判定 x+2y=3、2x+4y=7；(III) 判定 x+2y=3、2x+4y=6；並以 (IV) 0x+0y=1、0x+0y=2 說明 D 與兩個 Cramer 分子都為零時不能斷定有無限多解。
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有限模型的條件機率：正分母、兩個方向與零機率條件
在 S={1,2,3,4,5,6}、權重 w=(1,2,3,2,4,0)/12 的有限模型中，設 A={2,3}、B={3,4,5,6}、Z={6}。驗證模型合法，計算 P(A|B) 與 P(B|A)，與等可能計數比 |A∩B|/|B| 及乘積 P(A)P(B) 比較，並判定 P(A|Z) 是否有定義。
概念導讀
單射與不同輸入的辨識：函數表的資格、碰撞見證與纖維
設 A={1,2,3,4}、B={1,2,3,4,5,6}，函數表 f：(1,4),(2,6),(3,1),(4,5)；g：(1,4),(2,6),(2,6),(3,4),(4,6)；h：(1,4),(2,6),(2,5),(3,1),(4,5)。確認各表是否為總函數 A→B；判定 f、g 是否單射並列出纖維；找出 g 按字典序的首碰撞；判定 g 限制到 C={1,2} 是否單射；並說明空定義域的情形。