概念導讀
滿射與陪域覆蓋：值域、原像與陪域變更
設 A={1,2,3,4,5}、B={1,2,3}，函數表 f：(1,2),(2,1),(3,3),(4,2),(5,1)。確認 f 是總函數 A→B，求值域 f[A] 與各原像，判定 f 是否滿射並找出 t=2 的首個原像；再把陪域換成 B2={1,2,3,4} 與 B3={1,2} 判定合法性與滿射性；最後處理 ∅→∅ 與 ∅→{7}。
OCME · 中英數學知識與推導
概念推導導讀
299 份概念教學導讀；另有 36,000 題逐題詳解，兩者分開查找。
概念導讀
雙射：以纖維概況判定給定函數，並與「是否存在某個雙射」分開
設 A={1,2,3}、B={4,5,6}，函數 f、g:A→B 由表給出：f(1)=5、f(2)=6、f(3)=4；g(1)=4、g(2)=4、g(3)=6。先對一般總函數證明「雙射 ⇔ 每個 b∈B 的纖維恰有一個元素」，再按陪域 4、5、6 的順序列出 f 與 g 的完整纖維概況，判定 f 是雙射、g 既非單射也非滿射。最後回答另一類問題「是否存在某個雙射」：A→B 存在（f 即是）、{1,2,3}→{4,5} 不存在、∅→∅ 恰有一個空雙射。
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反函數：交換有限雙射表並求非零斜率仿射函數的反函數
（一）A={1,2,3}、B={4,5,6}，p(1)=5、p(2)=6、p(3)=4。先確認 p 是雙射，再交換有序對得到候選 q，驗證 q 是總函數 B→A，並逐側檢查 q(p(x))=x 與 p(q(y))=y。（二）f:ℝ→ℝ，f(x)=−4x+6（m=−4≠0）：求反函數 g(y)=uy+v，u、v 以最簡、正分母的有理數表示，並對所有實數驗證兩側恆等式。（三）說明 h(1)=4、h(2)=4、h(3)=6 的交換表不是 B→A 的函數，以及 f^{-1} 不是 1/f。
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有限樣本空間的隨機變數：值域、原像事件與點機率
S={1,2,3,4}，事件族 F=𝒫(S)，權重 w₁=1/2、w₂=1/4、w₃=1/8、w₄=1/8。隨機變數 X:S→ℝ 由表給出：X(1)=1、X(2)=0、X(3)=1、X(4)=4（即 X(s)=(s−2)²）。求 X 的值域、原像事件 {X=1}、{X≥1} 與 {X∈{2,3}}，以及每個值的點機率 P(X=t)，並證明這些點機率之和為 1。
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有限模型的期望值：線性性的證明與相依變數的實例
在非空有限樣本空間 S、非負且總和為 1 的權重 w_s 下，證明 E[c]=c、E[aX+b]=aE[X]+b、E[X+Y]=E[X]+E[Y]（X、Y 定義在同一個 S 上，不假設獨立）。再在 S={1,2,3}、w₁=1/2、w₂=1/4、w₃=1/4，X=(2,−2,0)、Y=(1,3,−1) 上計算 E[X]、E[Y]、E[X+Y]、E[−3X+5]，說明 X、Y 不獨立而線性性仍成立，並以 E[XY]≠E[X]E[Y] 說明線性性不推出乘積公式。
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有限機率模型的變異數：平移、縮放與零變異數的刻畫
在有限合法機率模型中證明 Var(X)≥0、Var(X+c)=Var(X)、Var(kX)=k²Var(X)，以及 Var(X)=0 ⇔ X 在所有正權重結果上取同一個值。再以 S={1,2,3,4}、w₁=1/2、w₂=1/4、w₃=1/4、w₄=0、X=(1,3,−1,10) 計算 μ=1、Var(X)=2、Var(X+5)=2、Var(−3X)=18，並以 Z=(2,2,2,7) 說明零權重結果上的不同值不影響零變異數。
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實數的通常順序：加法保序、正分母交叉比較、有限極值與閉區間
證明對所有實數 a、b、c：a<b ⇔ a+c<b+c；q、s>0 時 p/q<r/s ⇔ ps<rq；非空有限實數集合有最小元素，且最小元素唯一。據此比較 M={−5/9, 1/3, −7/12, −1/2}（照此次序列出）的元素，求 M 的最小與最大元素，並判定兩端點與 1/2 是否屬於閉區間 [min M, max M]。
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頂點式二次函數：求值、對稱、全域最大值與限制區間
q:ℝ→ℝ，q(x)=−2(x−3)²+5（a=−2、h=3、k=5）。依序求 q(1) 及其對稱點；證明對所有實數 x 有 q(6−x)=q(x)；證明 q 的全域最大值為 5、只在 x=3 取得，頂點為 (3,5)，且 q 沒有全域最小值；再說明限制在 [4,6] 時最大值是 3（在 x=4），以及 a=0 時結論不能沿用。
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兩點間的平均變化率：資格、端點對調、仿射與二次公式
（一）已知某指定函數 f 的 f(2)=7、f(−4)=3：判定資格並求平均變化率，化為最簡正分母分數，並說明同時對調兩端點不改變結果。（二）證明 f(x)=mx+b 的平均變化率為 m，並以 ℓ(x)=−3x+7 在 −2 與 4 之間核對。（三）證明 q(x)=a(x−h)²+k（a≠0）的平均變化率為 a(x₀+x₁−2h)，以 q(x)=−2(x−3)²+5 在 1 與 4 之間核對；並以對稱端點、改變第二端點與相同輸入三個情形說明它不是導數，也不能對相同輸入填 0。
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歐氏距離公式：計算距離、拒絕負根並以平方比較
在同一個等單位正交座標系中，設 P=(1,2)、Q=(4,6)、R=(6,−1)。求 d(P,Q)，並說明候選值 −5 為何不是距離；求 d(P,R) 的精確形式並判定它不是整數；以平方比較 d(P,Q) 與 d(P,R)；最後核對重合點的距離為零，以及距離與兩點的書寫順序無關。
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圓：以距離平方判定點在圓內、圓上或圓外，並處理零半徑
在等單位正交座標系中，取中心 O=(2,−1)、半徑 r=5。判定 A=(5,3)、B=(4,1)、E=(−2,3) 各在圓內、圓上或圓外；驗證四個軸向點 O±(5,0)、O±(0,5) 都在 C(O,5) 上，並由兩個相對的軸向點算出直徑長 2r=10。再把半徑改為 r=0，證明 C(O,0)={O}、沒有圓內點，並判定 B 的位置。
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面積：半開矩形的交集、聯集與單位格重算
在等單位正交座標系中，設 A=[0,4)×[0,3)、B=[2,6)×[1,5)。求 A 與 B 的面積，求出交集 A∩B 及其面積，用包含排除求 A∪B 的面積，並以「不同單位格的個數」獨立重算。再設 C=[4,7)×[0,3)（與 A 只在 x=4 處相觸）與 Z=[3,3)×[0,5)（寬為零），求 A∩C、A∪C 的面積與 Z 的面積。
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描述統計：保留重數計算平均數、中位數、全距與眾數集合
對觀測列 D=(4,10,1,3,8,1,6,3)，保留重複值，求觀測數 n、算術平均、中位數、全距與本輪約定的眾數集合；證明一般性質「最小值 ≤ 平均 ≤ 最大值」並用它核對；最後說明若先去重會得到不同（錯誤）的平均與中位數。
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矩陣：尺寸、一起算索引、逐項加法與轉置
設 M=[[2,−1,0],[5,3,7]]、N=[[1,4,−2],[0,−3,6]]（每個內層括號是一行，row）。求兩者尺寸，讀出 M(1,2)、M(2,3)，判定 M(3,1) 是否存在；求 M+N、Mᵀ、Nᵀ；對任意同尺寸實矩陣證明 (A+B)ᵀ=Aᵀ+Bᵀ 與 (Aᵀ)ᵀ=A，並在 M、N 上核對；說明 M+Mᵀ 無定義；最後以反例區分轉置與「逐行倒序」及「反矩陣」，並把程式的零起算索引對應回一起算索引。
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線性映射：證明 v↦Mv 線性，且仿射式 Mv+b 線性當且僅當 b=0
對任意 2×2 實矩陣 M，證明 T(v)=Mv 是 ℝ²→ℝ² 的線性映射（對所有向量 u、v 與實數 c 滿足加法相容與純量相容）；證明仿射式 F(v)=Mv+b 線性當且僅當 b=0。以 M₀=[[2,−1],[3,4]]、b=(1,−2)ᵀ、u=(1,1)ᵀ、w=(2,−3)ᵀ 為例：算出 M₀u，說明 F 不線性並給出具體失效等式；以數字示範 T 的加法相容；最後以 g(x,y)=(x²,y) 說明有限測點不能證明任意映射線性。
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二階行列式：乘積公式、縮放公式與實數域可逆判準
對所有 2×2 實矩陣證明 det(AB)=det(A)det(B) 與 det(tM)=t²det(M)，並證明 M 在實數域可逆當且僅當 det(M)≠0。以 A=[[2,1],[−1,3]]、B=[[1,−2],[4,0]] 核對乘積公式並顯示 AB≠BA；以 t=−3 核對縮放公式；求 A⁻¹，並說明 A 雖是整數矩陣且 det(A)=7≠0，卻沒有整數反矩陣；以 C=[[1,2],[3,4]]（det=−2）說明非零行列式不必為正。
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二階實矩陣的特徵值：特徵多項式、判別式與非零特徵向量
對 2×2 實矩陣證明：λ 是實特徵值 ⇔ det(M−λI)=0 ⇔ λ²−tr(M)λ+det(M)=0，且互異實特徵值的個數由 Δ=tr(M)²−4det(M) 的正負決定（負、零、正分別為 0、1、2）。以 M=[[4,1],[2,3]] 求出全部互異實特徵值與各自的非零特徵向量，說明候選 λ=3 的核 K₃={0} 而 3 不是特徵值，並拒絕候選特徵對 (3,0)；再以旋轉矩陣 R=[[0,−1],[1,0]]（Δ<0）與 J=[[3,1],[0,3]]（Δ=0）對照。
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全等：以 SSS 切片判定有明示對應的三角形全等
在同一個等單位正交平面中，A1=(0,0)、A2=(4,0)、A3=(0,3)，B1=(1,1)、B2=(1,5)、B3=(4,1)，對應明示為 Ai↔Bi。先以行列式驗證兩組點都是非退化三角形，再依 12、13、23 的順序精確比較平方邊長，判定 G(A,B)；說明 B 的方向與 A 相反卻仍全等；最後找出另一個對應 A1↔B1、A2↔B3、A3↔B2 的首個不等見證，並說明退化點組不合格。
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相似：以指定正倍率判定標記三角形相似並求面積
在同一等單位正交平面中，A1=(0,0)、A2=(4,0)、A3=(0,2)，B1=(1,1)、B2=(1,7)、B3=(4,1)，對應 Ai↔Bi，倍率方向為 |BiBj|=k|AiAj|，指定 k=3/2。判定兩者在 k=3/2 下相似，並由已知面積 Area(A)=4 求 Area(B)；再說明 k=2 只被否定為見證、k=−3/2 不合資格，以及方向相反不改變正倍率。
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幾何變換：證明基本等距並分類均勻縮放
在等單位正交實平面中證明：平移、原點逆時針 90° 旋轉 R90(x,y)=(−y,x) 以及 MKO 列出的其他旋轉與軸鏡射都是等距映射；半轉 (−x,−y) 不是所列四條軸中任何一條的鏡射；均勻縮放 Hc(x,y)=(cx,cy) 使每個距離乘 |c|。據此分類 c=0、c=−1、c=−2、c=2，並以 P=(3,1)、Q=(−1,4) 做數值核對。
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數列極限：倒數模型的精確尾界與 ε-N 證明
對 u(n)=2−3/(n+1)（n∈ℕ0，即 MKO 模型 L=2、c=−3、d=1）：(1) 證明候選尾界 N 對 ε 合法當且僅當 3/(N+1)<ε；(2) 求 ε=1/2 的最小合法 N，並說明 N=5 為何不合法；(3) 以 ε-N 定義證明 u(n)→2；(4) 說明 N 必須依 ε 選取。
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函數極限：可去因子商、仿射 δ 界與不等的單側極限
在去心實數論域上：(1) 以 ε-δ 證明 f(x)=(x²−9)/(x−3) 滿足 lim_(x→3) f(x)=6，而 f(3) 仍無定義；(2) 對仿射 g(x)=4x−1 在 a=2、ε=1/2，證明 δ=1/8 合法（等號 |m|δ=ε 允許），δ=1/7 不合法；(3) 對分支函數 h(x)=x+1（x<1）、h(x)=2x+3（x>1），求左右極限 2 與 5，並證明兩側極限不存在。
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連續：分支函數的中心值與可去商的唯一補點
(1) 對 f_V(x)=2x+1（x<1）、f_V(1)=V、f_V(x)=5x−2（x>1），證明 V=3 時 f_V 在 1 連續，V=4 時不連續；(2) 對 g(x)=2x+1（x<1）、g(1)=3、g(x)=5x−1（x>1），證明 g 在 1 不連續；(3) 對 q(x)=(x²−4)/(x−2)（論域 ℝ∖{2}），證明全實數連續延拓在 2 的值必為 4，且 4 確實可行。
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導數：由差商極限求二次式導數並判定尖點無導數
對 f(t)=3t²−2t+5：先對 h≠0 化簡差商 (f(1+h)−f(1))/h=4+3h，再以 ε-δ 證明 f'(1)=4；推導一般公式：差商為 2a2x+a1+a2h、導數為 2a2x+a1；說明有限步 h=1/10 的差商 4.3 不是導數、a2=0 的仿射邊界；最後證明 g(t)=|t−2| 在 t=2 沒有導數（不是 0），而在 t>2 處導數為 1。