OCME · 中英數學知識與推導
299 份概念教學導讀；另有 36,000 題逐題詳解，兩者分開查找。
概念導讀
在固定時間步、常數因子 r≥0 的模型 x_(n+1)=r·x_n 中，以數學歸納法證明對每個自然數 n 有 x_n=x_0·r^n，並說明遞迴式與閉式描述同一數列；以 x_0=8、r=3/2 計算 x_1 到 x_4 並與閉式比對；說明 r>1、r=1、0≤r<1 與 x_0=0 的行為；判定資料 8、12、18、26 不符合任何以 x_0=8 開始的固定因子模型；並說明每步因子 3/2 不是連續成長率 1/2。
概念導讀
在期別為一年、每期利率 i=1/50（2%）、期間內無存提款與費用的模型中，以歸納證明 B_n=B_0(1+i)^n，算出 B_0=1000 時三年後的餘額 132651/125（即 1061.208）與利息；與單利 B_0(1+ni)=1060 比較，並以 Bernoulli 不等式證明複利餘額對每個 n 都不小於單利；說明期別混用與期間現金流如何使單一冪次公式失效。
概念導讀
固定對象 f:D→ℤ，D={0,1,2,3}，f(x)=2x−1。判定：文字「輸入加倍後減 1」對應 2x−1；表格 T1={(0,−1),(1,1),(2,3),(3,5)} 表示 f；序對集合是 f 的圖形；由兩列 (1,1)、(3,5) 唯一恢復仿射規則；表格 T2 把 (3,5) 換成 (3,6) 後不表示 f，也不表示任何仿射規則；含重複輸入的 T3 不是函數表；定義在 ℤ 上的 g(x)=2x−1 與 f 不是同一個函數；以及表格不提供未列點的值。
概念導讀
對題目 Q-FRAC-01「計算 3/4+1/6，答案寫成分數 a/b（a、b 為整數，b≠0）」，先精確算出期望結果 e，再寫出判定規則 R_val（作答的值等於 e 即符合）與較嚴格的 R_low（值相等且為最簡分數）。據此判定三份合成記錄：D1 作答 4/10、D2 作答 22/24、D3 作答 22/24 但規則欄空白；並證明 D1 的「不符合」不能推出任何關於真實學生能力或錯誤原因的結論。
概念導讀
在狀態空間 X={0,1,2,3,4,5} 上取自映射 T(x)=(2x+1) mod 6。求出全部固定點與最小週期 2 的週期點；證明對最小週期 p 的點，T^n(x)=x 當且僅當 p 整除 n，並用它說明 T^4(1)=1 不表示 1 的最小週期是 4；最後證明 0、2、4 不是週期點，雖然它們的軌道一步之後就進入循環。
概念導讀
初值問題：在 ℝ 上 y''(x)=6x，且 y(0)=1、y'(0)=2。逐一審核四個整係數多項式候選 y_A=x³+2x+1、y_B=x³+1、y_C=x²+2x+1、y_D=3x⁵−15x⁴+21x³+2x+1：分開核對方程殘差與兩個初值，判定哪一個是此初值問題的解，並說明只核初值、只核一個初值、或只在有限網格上核殘差為何都不夠。
概念導讀
對 f(x)=x²−2，從 [1,2] 與所提供的端點符號 f(1)<0、f(2)>0 出發，依所提供的中點符號執行四步二分，追蹤 bracket；證明「端點異號且 a<b」是不變量、n 步後寬度為 1/2^n、在每次所需符號可取得且更新有效的延伸執行中，寬度停止準則必在有限步內終止；再證明這些 bracket 資料本身不證明有根，並另外引用中間值定理，對連續的 f 得出最終 bracket 內有根。
概念導讀
限制 3x+2y≤12、x+2y≤6、−x≤0、−y≤0，目標為最大化 L(x,y)=x+y。對明示的七個候選 P1=(0,0)、P2=(4,0)、P3=(3,1)、P4=(2,2)、P5=(0,3)、P6=(4,1)、P7=(3,2)，逐限制核對可行性，只在可行候選間比較目標值，求出候選中的最大值與全部最佳點；再以可行點 Q=(3,3/2) 與一個不等式證書證明連續可行域上的最大值是 9/2，而不是候選中的 4。
概念導讀
對模型 G(x)=x+r x(1−x/K)（K>0、0≤r≤1），證明：若 0≤x≤K，則 0≤G(x)≤K，因此從 [0,K] 出發的整條軌道都留在 [0,K]；0 與 K 是固定點，且 r>0 時它們是僅有的固定點。再以 K=8、r=1、x0=2 精確算出 x1、x2、x3，並以 r=3 的例子說明條件 r≤1 不可省。
概念導讀
取 m=2、k=8。核對模型資格並算出 k/m；對多項式候選 x_c(t)=1−2t² 算出殘差 R(t)=m x_c''+k x_c，在指定點 t=0、1/2、1 求值，並證明 x_c 不是任何正長度區間上的解；證明方程 2x''+8x=0 沒有非零多項式解；最後算出單一狀態 (x,v)=(1,0) 的能量 E=4，並以能量導數恆等式說明單點能量值為何不證明守恆。
概念導讀
在固定每期利率 i（1+i>0）與期數 n 下，證明 (1+i)^n>0，因此現值 PV_n(F)=F/(1+i)^n 有定義；證明 PV_n 與複利 A_n(P)=P(1+i)^n 互為反函數。再以 i=1/10（每年）、n=3、F=1331 算出現值 1000，用逐年折現與 roundtrip 交叉核對，並說明把折現寫成乘法或混用年率與月率為何錯誤。
概念導讀
設 z=2+3i、w=4−5i。以有序對（實部, 虛部係數）求 z+w、z−w 與 z·w。乘法先由分配律與 i²=−1 推出一般公式 (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，再代入數值，並以直接展開交叉核對；最後判定 z·w 是否等於實數 23。
概念導讀
在 ℝ³ 中取 u=(1,−2,3)、v=(4,0,−1)、a=2、b=−3。（一）確認維度相同；（二）精確核對 a(u+v)=au+av、(a+b)u=au+bu、(ab)u=a(bu)、1u=u、u+(−u)=0 五個公理實例；（三）對所有實數 a 與所有 u、v∈ℝ³ 證明 a(u+v)=au+av；（四）以 ℝ² 上改造的純量乘法說明實例通過不等於公理成立。
概念導讀
給兩個完整運算表。（甲）G={0,1,2,3} 配上表 T，證明 (G,*) 是有限群：封閉、全部 4³=64 個三元組的結合律、雙側單位元、雙側逆元。（乙）K={0,1,2} 配上表 ∘：它對稱、有雙側單位元、每個元素都有雙側逆元，卻在三元組 (1,1,2) 違反結合律，因此不是群；同時說明含 0 的 19 個三元組全部通過，抽樣會誤判。
概念導讀
給三張完整整數距離表。（甲）X={0,1,2,3} 上的表 d（四點環上的步數距離）：逐格核非負、對角線為零、非對角線不為零、對稱，並以涵蓋全部 4³=64 個三元組的分情形論證核三角不等式，得出 (X,d) 是度量空間。（乙）Y={0,1,2} 上的表 e 通過前四項卻在 (0,1,2) 違反三角不等式。（丙）Z={0,1,2} 上的表 f 非負、對稱、對角線為零，卻有非對角零值，違反分離性。
概念導讀
隨機變數 X 取值 −1、0、1、2，質量 p(−1)=1/6、p(0)=1/3、p(1)=1/4、p(2)=1/4。（一）先核 p 是否為合格 PMF；（二）求 P(X≥1)；（三）求 E[X]；（四）求 Y=X² 的推前分布、證明它仍是 PMF，求 E[Y] 並以 Σx²p(x) 交叉核對；（五）判定兩個候選 q、r 不是 PMF：q 每項介於 0 與 1 但總和不為 1，r 總和為 1 但有負項。
概念導讀
對 z=a+bi、w=c+di（a、b、c、d 為實數）證明：（一）z·z̄=(a²+b²)+0i，即模平方的實數嵌入；（二）共軛保持加法：(z+w)‾=z̄+w̄；（三）共軛保持乘法：(zw)‾=z̄·w̄；（四）由此得 |zw|²=|z|²|w|²。再以 z=3−4i、w=1+2i 精確核對，並區分模平方與模。
概念導讀
（一）在 ℝ² 中，v₁=(1,2)、v₂=(3,−1)，判定 b=(7,0) 是否屬於 span{v₁,v₂}：先證明兩個向量的生成集恰為 {c₁v₁+c₂v₂}，再解係數、證明唯一，並由 witness 重建 b。（二）在 ℝ³ 中，u₁=(1,0,1)、u₂=(0,1,1)，證明 t=(2,3,4) 不屬於 span{u₁,u₂}，而 t'=(2,3,5) 屬於：同為三維並不決定成員資格。
概念導讀
G={0,1,2,3} 以 (a+b) mod 4 為運算，K={0,1} 以 (a+b) mod 2 為運算，兩者都給出完整 Cayley 表。（一）證明 H={0,2} 是 G 的子群，H'={0,1} 不是；（二）證明映射表 f(0)=0、f(1)=1、f(2)=0、f(3)=1 是同態 G→K（涵蓋全部 16 個輸入對）；（三）求 kernel 與 image，說明 f 滿射但不單射，因此不是同構；（四）說明常數映射 h≡1 不是同態。
概念導讀
在三點集合 X={a,b,c} 上給定完整度量表 d(a,b)=1、d(a,c)=2、d(b,c)=3/2。序列 x_0=a、x_1=c、x_2=a，並明示對所有 n≥3 有 x_n=b。(1) 核對 d 是度量；(2) 以 ε-N 定義證明 x_n→b，並找出各 ε 下最小的有效 N；(3) 證明度量空間中極限唯一，並直接給出 x_n 不收斂到 a、也不收斂到 c 的見證；(4) 用一個在有限尾段上與 x_n 完全一致、極限卻不同的序列，說明只核有限尾段不足以判定極限是否為指定的 b。
概念導讀
在 X={0,1,2,3} 上，以原子 A_1={0}、A_2={1,2}、A_3={3} 生成的 8 個集合構成 Σ，並以 m_1=1/2、m_2=1/3、m_3=1/6 定義 μ(∪_{i∈I}A_i)=Σ_{i∈I}m_i。證明 Σ 是 σ-代數（含可數聯集的有限歸約），證明 μ 是測度（含可數可加性的有限歸約）且為機率測度；再說明 𝒢={∅,{0},{1},X} 不是 σ-代數，以及只改一個值的 ν 不是測度。
概念導讀
時域 {0,1,2}、狀態 {0,1}。完整路徑支撐與精確 PMF 為 (0,0,0):1/4、(0,1,1):1/4、(1,0,1):1/8、(1,1,0):1/8、(1,1,1):1/4。(1) 核對支撐與 PMF，建立機率空間並說明 X_0、X_1、X_2 是同一空間上的隨機變數；(2) 求三個時刻的邊際分布與 (X_1,X_2) 的聯合分布；(3) 證明這個過程不平穩、不具 Markov 性；(4) 構造一個邊際相同但聯合分布不同的路徑律，說明邊際表不等於完整過程。
概念導讀
係數向量依 [1,x,y,x²,xy,y²] 次序為 c=(1,−2,3,1,2,−1)，宣告定義域為閉矩形 R=[−1,2]×[0,3]。(1) 寫出 f 並確認 f:R→ℝ 是函數；(2) 分別核對 x、y 邊界，判定 (2,3)、(3,1)、(0,−1) 是否在 R 中；(3) 計算 f(2,1) 與 f(1,2)，並證明交換 x、y 係數得到的 g 是不同的函數；(4) 求 y=1 的 x-切片，並說明給定的 y=1 切片與指定四個點值各自都不足以決定 f。
概念導讀
在 ℝ² 中令 v_1=(1,2)、v_2=(3,5)、v_3=(1,1)、w=(4,7)。(1) 以精確消去證明 (v_1,v_2) 線性獨立；(2) 對任意 (p,q) 求出係數，證明 span(v_1,v_2)=ℝ²，因而 (v_1,v_2) 是有序基底；(3) 求 w 的唯一座標；(4) 證明 (v_1) 獨立但不生成 ℝ²，而 (v_1,v_2,v_3) 生成 ℝ² 但不獨立，且 w 在其中的表示不唯一。