絕對收斂與交錯調和的雙證書

目標與範圍

區分負比幾何級數的絕對收斂與交錯調和的條件收斂。

精確幾何尾與調和分塊；條件收斂須同時證原級數收斂及絕對級數發散。

已知條件與符號

• algebra
• epsilon
• monotone_complete
• definition_here

• G1 — a_n=(-1/2)^n（n≥0）；b_n=(-1)^{n+1}/n（n≥1）。

• B_N — 交錯調和部分和
• B — 已證存在的極限

規則與來源

• mko_definition · cited — 幾何級數用|r|<1證絕對收斂；交錯harmonic以alternating remainder證原級數收斂、以harmonic divergence證非絕對。bounded terms、term→0、|partial sum|皆不足。 · mko-absolute-convergence-of-series
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。
• monotone_complete · prerequisite — 實數單調有界數列收斂；非負級數的部分和單調遞增。
• definition_here · prerequisite — 絕對收斂是逐項絕對值級數收斂；條件收斂是原級數收斂且逐項絕對值級數不收斂。

逐步主鏈

|a_n|=2^{-n}

\sum_{n=0}^{N}|a_n|=2-2^{-N}

2^{-N}\le1/(N+1)\to0

\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|=2

B_{2m}=\sum_{n=1}^{2m}b_n

B_{2(m+1)}-B_{2m}=1/(2m+1)-1/(2m+2)>0

B_{2m+1}=B_{2m}+1/(2m+1)

0\le B_{2m}<B_{2m+1}\le1

B_{2m}\uparrow,\ B_{2m+1}\downarrow,\ B_{2m+1}-B_{2m}=1/(2m+1)\to0

B_N\to B,\quad |B-B_N|\le1/(N+1)

\sum_{n=2^{j-1}+1}^{2^j}|b_n|

\sum_{n=2^{j-1}+1}^{2^j}1/n\ge2^{j-1}/2^j=1/2

\sum_{n=1}^{2^m}|b_n|\ge1+m/2

\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|\text{ diverges}

\sum a_n\text{ absolutely convergent};\quad\sum b_n\text{ convergent but not absolutely}

\sum b_n\text{ conditionally convergent}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S02, S05, S07 — 未將有界項、項趨零或單純交錯升格成任何證書。
• S07 · premise_audit · S06 — 不可由有號部分和有界推出絕對部分和有界。
• S06 · premise_audit · G1 — 此下界對所有整數 j≥1，不是有限塊觀察。
• S05 · premise_audit · S03, S04 — 餘項界由夾擠產生，不以未知閉式常數取代收斂證明。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — 交錯性以 1/n 遞減為支撐，不是任意交錯序列。
• S03 · premise_audit · G1 — m≥1 或初始 B_0=0 皆可，索引一致。
• S02 · premise_audit · S01 — 不是僅憑負號交錯判絕對收斂。
• S01 · inverse_equivalence · G1 — 先逐項取絕對值，不是把有號和最後才取絕對值。

錯誤控制與反例

雙證書

條件收斂同時需要有號和收斂及絕對和發散。

全尾而非符號

以完整單調與分塊公式控制全部項。

• 交錯就一定絕對收斂。 → reject — 交錯調和的絕對級數已證發散。
• |sum b_n| 等於 sum |b_n|。 → reject — 已在前兩項得到 |1-1/2|=1/2 而 1+1/2=3/2。
• 項趨零足以絕對收斂。 → reject — 1/n 趨零而分塊下界使級數發散。

結論與限制

(-1/2)^n 級數絕對收斂；交錯調和級數條件收斂。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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