三條自然數列的全稱編碼

目標與範圍

N₀×{0,1,2}以c(n,j)=3n+j單射到N₀，故至多可數。

有限集合證書加上全稱整數仿射編碼；不提出不可數性結論。

已知條件與符號

• calc

• G1 — N₀={n∈Z:n≥0}；X=N₀×{0,1,2}；c(n,j)=3n+j。

• N_0 — 含0的自然數
• c — 仿射整數編碼
• j — 三條列索引

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設整數帶餘除法、非負整數與單射定義；至多可數以存在到N₀的單射定義。
• mko_definition · cited — 本輪以完整有限集合證書或整數仿射編碼的全稱單射證書處理。某個編碼失敗只否證該witness，不證集合不可數。 · mko-at-most-countable-set

逐步主鏈

(n,j)\in X

n\ge0,\quad j\in\{0,1,2\}\Rightarrow3n+j\in N_0

c(n,j)=c(m,k)

3(n-m)=k-j

j,k\in\{0,1,2\}

-2\le k-j\le2,\quad3\mid(k-j)\Rightarrow k-j=0

3(n-m)=0,\quad j=k

n=m,\quad(n,j)=(m,k)

c:X\hookrightarrow N_0

X\text{ is at most countable}

r\in N_0

r=3q+j,\quad q\in N_0,\quad j\in\{0,1,2\}

Y=\{a,b,c\},\quad e(a)=0,e(b)=1,e(c)=2

e:Y\hookrightarrow N_0,\quad |Y|=3

b(n,j)=3n

b(0,0)=b(0,1)=0,\quad c(0,0)=0\ne1=c(0,1)

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S05 — 一個壞編碼不能推出X不可數，因已有完整反證性良好編碼。
• S07 · premise_audit · G1 — Y至多可數但不是可數無限，因此兩個術語不能混同。
• S06 · premise_audit · G1, S04 — 額外滿射證書才允許稱X可數無限；前一步單射本身只證至多可數。
• S05 · premise_audit · G1, S01, S04 — 不需要先證滿射；至多可數也容許有限集合。
• S04 · premise_audit · G1, S02, S03 — 相等像已推出輸入兩座標都相等，不只第一座標。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 兩端界−2與2都必須納入；沒有±3所以結論成立。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 這裡沒有抽樣n或m，是全稱碰撞分析。
• S01 · premise_audit · G1 — 若允許n負數便不一定進入N₀；參數域不可省。

錯誤控制與反例

參數域

c的證明固定n≥0及0≤j≤2；允許j=3會和下一條列碰撞。

見證與集合

編碼失敗只否證該函數；不可直接標集合不可數。

• b(n,j)=3n是單射。 → reject — (0,0)與(0,1)都送到0。
• b失敗表示X不可數。 → reject — c(n,j)=3n+j已全稱證單射。
• 有限Y至多可數，因此Y可數無限。 → reject — Y只有三個元素，不與無限N₀雙射。

結論與限制

N₀×{0,1,2}以c(n,j)=3n+j單射到N₀，故至多可數。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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